第9章 第3节 成对数据的统计分析（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第3节 成对数据的统计分析 ► 对应学生用书P207 [课标解读]　1.会作两个相关变量的数据的散点图，能根据最小二乘原理建立经验回归方程并进行预测，了解样本相关系数的统计含义和残差分析．　2.了解独立性检验的基本思想，2×2列联表的统计意义，能对两个分类变量进行独立性检验． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．变量的相关关系 (1)定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)分类 正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关． 负相关：如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． (3)线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数 样本相关系数r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关． (2)r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．一元线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法． (2)一元线性回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归方程为＝x＋，则＝＝，＝－，其中，是线性回归方程的斜率，是在y轴上的截距，＝xi，＝yi，(，)称为样本点的中心． (3)利用决定系数R2刻画回归效果：R2＝1－，R2越大，即模型的拟合效果越好，R2越小，即模型的拟合效果越差． 4．独立性检验 (1)独立性检验的概念 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (2)独立性检验的计算公式 χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d). (3)独立性检验基于小概率值α的检验规则 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． (4)χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [必记结论] (1)经验回归直线过点(，). (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． (3)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　) (2)线性回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　) (3)相关系数的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强．(　　) (4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关．则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　) A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③② 解析：选D．第一个散点图中的点是从左下角分布到右上角区域，正相关；第三个散点图中的点是从左上角分布到右下角区域，负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，不相关．故选D． 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9. 零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________. 解析：由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. 答案：68 4．(选择性必修一·P255例1改编)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表． 二孩生育意愿 城市级别 合计 非一线 一线 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 合计 58 42