第7章 第5节 空间向量的运算及应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第5节 空间向量的运算及应用 ► 对应学生用书P147 [课标解读]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．　2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．　4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 名称 语言描述 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在λ∈R，使b＝λa 共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc 3.空间向量的数量积及坐标运算 (1)空间向量的数量积 ①a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝． (2)空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos 〈a，b〉＝ [提醒]　(1)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a· b)c不一定等于a(b·c). (2)要注意两个向量夹角的范围是[0，π]，明确两个向量夹角与其余弦值的对应关系． 4．直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的 法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 [提醒]　直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一． 5．空间中直线、平面位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量 l1∥l2 ⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 l1⊥l2 ⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量 l∥α ⇔u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α ⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn n1，n2分别是平面α，β的法向量 α∥β ⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 [必记结论] 1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，0为空间中任意一点． 【小题热身】 1．(选择性必修一·P117习题A组T2改编)如图所示，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．－a＋b－c 解析：选B．由向量的加法和减法运算＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c. 2．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是(　　) A．＝2－－ B．＝＋－ C．＝＋－ D．＝＋＋ 解析：选B．设＝x＋y＋z， 若点M与点A，B，C共面，则x＋y＋z＝1， 对于选项A：x＋y＋z＝2－1－1＝0，不满足题意； 对于选项B：x＋y＋z＝1＋1－1＝1，满足题意； 对于选项C：x＋y＋z＝1＋－＝≠1，不满足题意； 对于选项D：x＋y＋z＝＋＋≠1，不满足题意． 3．(选择性必修一·P117习题A组T5改编)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 解析：