第7章 第4节 空间直线、平面的垂直（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第4节 空间直线、平面的垂直 ► 对应学生用书P142 [课标解读]　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直的关系．　2.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间基本图形的垂直关系的简单命题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b [提醒]　1.线面垂直的定义中，强调与“任意一条直线”垂直，等同于“所有”，不能改为“无数”； 2．在应用线面垂直的判定定理时，一定要保证平面内的两条直线相交． 2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3.三垂线定理及逆定理 (1)在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． [提醒]　当两个平面垂直时，并非一个平面内的任意直线都和另一个平面垂直．要注意不能和两个平面平行的性质混淆． [必记结论] 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 7．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 8．过一点有无数个平面与已知平面垂直． 【小题热身】 1. 给出下列三个命题： ①垂直于同一直线的两个平面互相平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：选B．①正确；②错误，两平面可能相交；③正确． 2．已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则α⊥β；③若α⊥β，则l∥m； 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C．对于①：因为α∥β，l⊥α，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，故正确； 对于②：因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故正确； 对于③：因为α⊥β，l⊥α，所以l与m可能平行或异面，故错误． 3．已知△ABC所在的平面为α，l，m是两条不同的直线，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 解析：选C．因为l⊥AB，l⊥AC，AB，AC⊂α，又AB∩AC＝A， 所以l⊥α.同理可证m⊥α，所以l∥m. 4．(必修二·P246例9改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA, 平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：7 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　线面垂直的判定与性质 【典例引领】 　线面垂直的判定 [例1] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝. 解：(1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°， 即△A1C1B1是等腰直角三角形． 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥