第7章 第1节 基本立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第七章　立体几何与空间向量 第1节 基本立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 ► 对应学生用书P128 [课标解读]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．　3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．多面体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交 于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.立体图形的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [必记结论] 1．直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝S原图形． 2．正方体与球的切、接常用结论 设正方体的棱长为a，球的半径为R. (1)若球为正方体的外接球，则2R＝a； (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 3．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝. 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.设正四面体棱长为a，则它的高为a， 内切球半径 r＝a，外接球半径R＝a. 【小题热身】 1.如图，已知等腰三角形△O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′＝A′B′，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选D．法一　因为△O′A′B′是等腰直角三角形，O′B′＝2，所以O′A′＝A′B′＝，所以原平面图形如图所示，且OB＝O′B′＝2，OA⊥OB，OA＝2O′A′＝2，所以原平面图形的面积是×2×2＝2. 法二　显然直观图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，易得其面积为1，所以S原图形＝2S直观图＝2. 2．(必修二·P252例3改编)一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 解析：选B．由题意得，斜高为＝2，所以该四棱锥的全面积为22＋4××2×2＝12. 3．圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是(　　) A． B． C． D．或 解析：选D．圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π××4＝；当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π××2＝，综上所求圆柱的体积是或. 4．若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为(　　) A．4π B．π C．2π D．π 解析：选D．设球的半径为R，因为球的表面积为16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2.因为截面与球心距离为d＝，所以截面圆的半径r＝＝1. 可得截面圆面积为S＝πr2＝π. 5．(必修二·P256习题A组T4改编)长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________. 解析：因为长方体的外接球O的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，所以长方体的外接球O的直径为＝3， 故长方体的外接球O的半径为r＝，所以球O的表面积为S＝4πr2＝9π. 答案：9π 　备考第2步——突破核心