第4章 第6节 余弦定理和正弦定理（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第6节 余弦定理和正弦定理 ► 对应学生用书P090 [课标解读]　通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．　 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 变形 (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径). [必记结论] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B． 【小题热身】 1．(必修二·P120例7改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A． B． C． D． 解析：选C．在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C． 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选C．由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝ >1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．(必修二·P116例3改编)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝________. 解析：由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝.又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°. 答案：45° 4．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________. 解析：易知c＝＝，△ABC的面积等于×2×3×＝. 答案：　 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形 【考点集训】 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋a sin A＝b sin B＋c sin C. (1)求A； (2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a. 解：(1)根据正弦定理，由b sin C＋a sin A＝b sin B＋c sin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2， 由余弦定理可得，cos A＝＝，因为A为三角形内角，所以A＝. (2)因为D是线段BC的中点，c＝2，AD＝，所以∠ADB＋∠ADC＝π， 则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，所以＋＝0， 即＋＝0，整理得a2＝2b2－44，又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4－2b， 所以b2＋4－2b＝2b2－44，解得b＝6或b＝－8(舍)，因此a2＝2b2－44＝28，所以a＝2. 2．(2021·天津高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝. (1)求a的值； (2)求cos C的值； (3)求sin 的值． 解：(1)∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶， 由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，∵b＝，∴c＝2，a＝2. (2)由余弦定理可得cos C＝＝＝. (3)∵cos C＝，∴sin C＝＝， ∴sin2C＝2sin C cos C＝2××＝，cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝， ∴sin＝sin 2C cos －cos 2C sin ＝×－×＝. 考点2　正弦定理、余弦定理的应用 【典例引领】 　判断三角形的形状 [例1] (2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin