第4章 第5节 函数y＝A sin (wx＋φ)的图象及应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第5节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 ► 对应学生用书P085 [课标解读]　1.了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响．　2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的五个关键点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 [必记结论] 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin (2x＋).(　　) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (3)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(必修二·P51习题A组T1(3)改编)为了得到y＝3cos (3x＋)的图象，只需把y＝3cos (x＋)图象上的所有点的(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 解析：选D．由图象变换规律知，A＝3，纵坐标不变，ω由1变为3，横坐标缩短到原来的. 3．已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)(ω>0).在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意知＝－(－)＝，∴T＝π，ω＝2， ∵当x＝时取最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ，当k＝1时，φ＝. 4．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________. 解析：由－(－)＝，＝，∴T＝，ω＝4， 又4×(－)＋φ＝＋2kπ，且0<φ<π， ∴φ＝. 答案：(4，) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 【典例引领】 [例1] (2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin (3x＋)图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D．因为y＝2sin (3x＋)＝2sin 3[x＋]，所以为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin (3x＋)图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D． [例2] 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin . ∵T＝π，∴＝π，即ω＝2. ∴f(x)＝2sin . ∴函数f(x)的振幅为2，初相为. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin ＝2sin X. 列表： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点画出图象： 【思维升华】 1.五点法作简图：用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 2．图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 注意：当采取先伸缩后平移时，平移的个数是个长度单位长度． 【考点集训】