第4章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第3节 三角恒等变换 ► 对应学生用书P077 [课标解读]　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； tan (α－β)＝； tan (α＋β)＝. 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝. 3．辅助角公式 a sinx＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. [必记结论] 1．公式的常用变式 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝＝； cos 2α＝＝. 2．降幂公式 sin2α＝； cos2α＝； sin αcos α＝sin 2α. 3．升幂公式 1＋cos α＝2cos 2； 1－cos α＝2sin2； 1＋sinα＝； 1－sin α＝. 4．半角正切公式 tan ＝＝. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) (3)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　) (4)在斜三角形中有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(必修二·P155例3改编)cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选B．原式＝cos 40°sin 70°－sin 40°cos 70°＝sin (70°－40°)＝sin 30°＝. 3．(2021·全国高考乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2 ＝cos＝. 4．(2023·江西南昌质检)若tan ＝2，则tan ＝________. 解析：∵tan ＝＝＝－. ∴tan＝tan ＝－tan ＝tan ＝－. 答案：－ 5．(必修二·P157例5改编)sin －cos ＝________. 解析：原式＝2(sin －cos )＝2(sin cos －sin cos )＝2sin (－)＝－ 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　公式的直接应用 【考点集训】 1．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos 等于(　　) A． B． C．－ D． 解析：选A．由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝，故选A． 2．已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选A．∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan (π－β)＝，∴tan β＝－， ∴tan (α－β)＝＝＝－. 3．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝______，cos 2β＝______. 解析：由α＋β＝，得β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ＝3sin α－cos α＝　①.又sin2α＋cos2α＝1　②，联立①②解得sinα＝；cos 2β＝cos ＝cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝. 答案：　 4．若tan＝－2，则tan 2α＝________. 解析：由tan ＝－2可得＝－2， 即＝－2，化简得tan α＝－3， ∴tan 2α＝＝＝. 答案： 【思维升华】利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号相反”． (2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 考点2　公式的逆用及变形用