第4章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 ► 对应学生用书P074 [课标解读]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.　2.借助单位圆及三角函数的定义推导出诱导公式 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 [必记结论] 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α； sin 2α＝＝； cos2α＝＝. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修二·P25练习T4改编)已知sin (＋α)＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C．sin ＝cos α＝. 3．(必修二·P149例5改编)已知tan α＝3，则＝________. 解析：原式＝＝＝2. 答案：2 4．已知sin α＝，则＝______. 解析：原式＝＝sin α＝. 答案： 5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________ 解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈， ∴sin θ－cos θ＝－. 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　诱导公式的应用 【考点集训】 1．(多选)已知sin ＝，下列结论正确的是(　　) A．cos ＝ B．cos ＝ C．sin ＝ D．cos ＝－ 解析：选BD．由sin ＝，可得cos (＋α)＝±，sin ＝sin ＝－sin ＝－，cos ＝cos [－]＝sin ＝，cos ＝cos ＝－cos ＝－. 2．设f(θ)＝，则f＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B．∵f(θ)＝＝， 又cos ＝cos (6π－)＝cos ＝， ∴f＝＝－. 3．已知sin ＝，则cos 的值为________. 解析：cos ＝cos ＝－sin ＝－. 答案：－ 【思维升华】 1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α. 考点2　同角三角函数基本关系式及其应用 【典例引领】 　公式的直接应用 [例1](1) 已知θ是第三象限角，且cos (π＋θ)＝，则tan θ＝(　　) A． B．2 C．2 D． 解析：选C．cos (π＋θ)＝－cos θ＝，所以cos θ＝－，又θ是第三象限角，所以sin θ＝－＝－＝－，所以tanθ＝＝＝2. (2) 已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________. 解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1， 所以cos2α＝，由α为第二象限角，易知cosα<0，所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－. 答案：－ 【思维升华】“知一求二”——公式的直接应用 公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号． 　sin α±