第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

第四章　三角函数 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念 ► 对应学生用书P071 [课标解读]　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．任意角 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． (4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：在单位圆中，把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°． (3)扇形的弧长公式：l＝|α|r， 扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2. 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).把 点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sin α 点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作cos α 点P的纵坐标与横坐标的比值 叫作α的正切函数，记作tan α 定义域 R R {x＋kπ，k∈Z} [必记结论] 1．若α∈，则tan α>α>sin α. 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. 3．三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若sin α＝sin β，则α与β的终边相同．(　　) (2)若α为第一象限角，则2α为第一或第二象限角．(　　) (3)若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．(　　) (4)若α，β终边关于x轴对称，则α＋β＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)关于角度，下列说法正确的是(　　) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角 解析：选BD．对于A，时针转过的角度为负角，故A错误；对于C，内角为90°时，不是第一或第二象限的角． 3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B．因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角． 4．(必修二·P15例2改编)已知角θ的终边过点P(－12，m)，cos θ＝－，则m的值为(　　) A．－5 B．5 C．±5 D．±8 解析：选C．∵角θ的终边过点P(－12，m)，且cos θ＝－<0，所以θ为第二或三象限角．由＝－，解得m2＝25，即m＝±5. 5．(必修二·P12练习T8改编)已知扇形的圆心角α＝120°，所在圆的半径r＝6，则扇形的弧长为________. 解析：l＝αr＝×6＝4π. 答案：4π 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　角的概念及其表示 【考点集训】 1．(多选)下列与角－终边相同的角是(　　) A． B． C． D．－ 解析：选BD．与角－终边相同的角的集合是， 当k＝1时，α＝π；当k＝－1时，α＝－π. 2．(多选)已知α为第三象限角，则的终边所在的象限可能是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选BD．∵α为第三象限角， ∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z， 当k＝2m，m∈Z时，＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，此时在第二象限， 当k＝2m＋1，m∈Z时，＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，此时在第四象限． 综上，的终边在第二或第四象限．故选BD． 3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它