第10章 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

2024版·数学（北师大） 第7节　二项分布、超几何分布 与正态分布 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 p p(1－p) np np(1－p) x轴上方 x＝μ x＝μ 上升 高瘦 集中 矮胖 分散 下降 x轴 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1.两点分布 (1)定义：若随机变量X的分布列如下表所示： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布). (2)两点分布的均值和方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布则EX＝ ，DX= . 2.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 ①伯努利试验：若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验. ②n重伯努利试验：一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 显然，两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. (3)二项分布的均值和方差 若X～B(n，p)，则EX＝ ，DX＝ . 3.超几何分布 (1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ ，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. (2)均值与方差 设随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝ ，DX＝ . 4.正态分布 (1)概念：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示，对应的分布密度函数解析式为：，x∈（-∞，+∞），其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. (2)正态曲线的几何意义 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X在区间(a，b］的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b］对应的曲边梯形面积的值(如图所示). 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，σ2).其中EX＝ ，DX＝ . (3)正态曲线的特点 ①曲线位于 ，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，关于直线 对称. ③曲线最高点位于 处. ④当x<μ时，曲线 ；当x>μ时，曲线 ；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 平移． ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较 ；当σ较大时，峰值低，曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较 ． (4)正态分布的3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ，σ2))的随机变量X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，这在统计学中称为3σ原则． P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 67，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 45，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 43. (2)由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～B， 所以P(η＝0)＝C＝，P(η＝1)＝C＝， P(η＝2)＝C＝，P(η＝3)＝C＝， 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以Eη＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X，X可取0，1，2，3. 则X～B， P(X＝0)＝×＝；P(X＝1)＝×＝； P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝×＝， 所以随机