第7章 第6节 第1课时 向量法求空间角、距离（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

2024版·数学（北师大） 第6节　立体几何中的向量方法 第七章　立体几何与空间向量 第1课时　向量法求空间角、距离 [0，π] 垂直 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 ______ ________ 求法 cos θ＝______ cos β＝______ [必记结论] 1．最小角定理：cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 2．直线与平面所成的角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是[0，]. 解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C，A1，B(0，4，0)，C1，所以＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以直线BC1与A1C所成角的余弦值为. 解析：法一　选A．如图，取BC的中点O，连接OP，OA. 因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.所以∠POA就是二面角P­BC­A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，所以＝(－，－1，0)，＝. 所以cos 〈，〉＝＝－，即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 考点2　求直线与平面所成的角 【典例引领】 [例2] (2021·高考浙江卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD． (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 　点到平面的距离 [例5] 如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1，BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点． (1)求异面直线PA1与BC所成角的余弦值； (2)求点B1到平面PAC的距离． $