第7章 第5节 空间向量的运算及应用（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

2024版·数学（北师大） 第5节　空间向量的运算及应用 第七章　立体几何与空间向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一个平面 b＝λa 唯一 xa＋yb |a||b|cos 〈a，b〉 0 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 非零 无数 ⊥ 无数 u1∥u2 u1＝λu2 u1⊥u2 u1·u2 u⊥n u·n u∥n u＝λn n1∥n2 n1＝λn2 n1⊥n2 n1·n2 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间，具有______和______的量 相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 方向______且模______的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____或______的向量 共面向量 平行于____________的向量 2.空间向量的有关定理 名称 语言描述 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在λ∈R，使_______ 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝________ 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc (2)空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝__________________________ 向量差 a－b＝__________________________ 数量积 a·b＝__________________ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔_____________________ 夹角公式 cos 〈a，b〉＝________________________ [提醒]　(1)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a· b)c不一定等于a(b·c). (2)要注意两个向量夹角的范围是[0，π]，明确两个向量夹角与其余弦值的对应关系． 4．直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的______向量，一条直线的方向向量有______个 平面的法向量 直线l____平面α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______个，它们是共线向量 [提醒]　直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一． 5．空间中直线、平面位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量 l1∥l2 ⇔________⇔∃λ∈R，使得_________ l1⊥l2 ⇔________⇔________＝0 u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量 l∥α ⇔______⇔______＝0 l⊥α ⇔______⇔∃λ∈R，使得_______ n1，n2分别是平面α，β的法向量 α∥β ⇔________⇔∃λ∈R，使得_________ α⊥β ⇔________⇔________＝0 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　空间向量的运算及共线、共面定理 【考点集训】 1.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c $