第05讲 正方形的性质（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 正方形的性质（4种题型） 【知识梳理】 一、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 二、正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【考点剖析】 题型一：正方形性质理解 例1．（2022春•仓山区校级期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．轴对称图形 C．对角线互相平分 D．对角线平分每一组对角 【变式1】（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 【变式2】下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分 题型二：根据正方形性质求角度 例2.（2022春•潮安区期中）如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝　 　． 例3.如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 题型三：根据正方形性质求线段长 例4.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 　　 ． 例5.一个正方形的对角线长为2，则其周长为 　 　． 例6.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF．求证：AE＝DF． 【变式1】（2022•渭滨区一模）如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，并延长交CD于点F，过点C作CH∥AE，交BF于点H． 求证：AG＝BH． 【变式2】如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF． 题型四：根据正方形性质求面积 例7.（2022春•宜兴市校级月考）已知正方形的对角线长为6，则它的面积为 　 　． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·四川成都·模拟预测）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市杏坛中学校考期末）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 3．（2023·河南·校联考二模）正方形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．四条边相等 D．对角线平分一组对角 4．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考期末）以下说法不正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形对角线相等 C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等 5．（2023·山东东营·二模）如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接．现有如下个结论：①＋＝；②；③；④．在以上个结论中正确的有（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）菱形中，，以为边长作正方形，连接，则的度数为__________． 8．（2023·山西晋中·统考二模）如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为______°．    9．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，在中，，为延长线上一动点，以为边在上方作正方形，连接，，则的面积为_________． 10．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接交于点E，则的度数为__________．    11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 12．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.    13．（2023·江苏常州·统考二模）如图，正方形的边长是2，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接当最小时，的长是______．    14．（2023·山西运城·统考二模）如图，在边长为2的正方形