第04讲 矩形的判定（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 矩形的判定（5种题型） 【知识梳理】 一、矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 要点诠释： 2 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 二．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【考点剖析】 题型一：矩形的判定定理的理解 例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD 【变式】已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ） A．当AB=BC时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当OA=OB时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 题型二：添加一个条件使四边形是矩形 例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 　 　． 【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 　 　，使▱ABCD为矩形． 题型三：证明四边形是矩形 例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形． 【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程． 【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 题型四：矩形的性质与判定求线段长 例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF． 题型五：矩形的性质与判定求面积 例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°． （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S． 【变式1】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的 面积. 　　　　 【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 3．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在菱形中，E、F为边、的中点，连接、．若，，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能