19 两条直线位置关系专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义

目录 两条直线位置关系 2 【课前诊断】 2 【知识点一】两条直线相交 3 【典型例题】 4 考点一：两条直线的交点坐标 4 考点二：含参数的直线恒过定点问题 4 方法总结： 5 【知识点二】两直线平行的判定 6 考点一：已知坐标判断直线位置关系 6 考点二：已知直线平行求直线方程或参数 7 【知识点三】两直线垂直的判定 7 考点一：已知坐标判断直线位置关系 7 考点二：已知直线垂直求参数 8 考点三：直线垂直平行综合问题 8 【知识点四】两条平行线间的距离 9 【典型例题】 9 【知识点五】点到直线的距离 10 【典型例题】 10 【小试牛刀】 11 【巩固练习——基础篇】 12 【巩固练习——提高篇】 13 两条直线位置关系 【课前诊断】 1．直线3x－2y＝4的截距式方程是(　　) A.－＝1 B.－＝4 C.－＝1 D.＋＝1 2．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________． 3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________． 4.当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？ 5.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【知识点一】两条直线相交 两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 【理解】两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设，，则与相交的条件是 或． (3)设两条直线1，，则与相交⇔k1≠k2. 【典型例题】 考点一：两条直线的交点坐标 例1.判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋. 例2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 考点二：含参数的直线恒过定点问题 例1.求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 例2.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0 ，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　) A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1 C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 例3.直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 方法总结： 1.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 2．解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一： 任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二： 含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【知识点二】两直线平行的判定 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有． 【注】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点： （1）成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；与不重合； （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是90°，则； （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在． 考点一：已知坐标判断直线位置关系 例1.已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 例2．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． 例3.已知四边形的四个顶点分别为试判断四边形的形状，并给出证明. 考点二：已知直线平行求直线方程或参数 例1．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； 例2.当a为何值时，两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？ 例3.若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________. 【知识点三】两直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，