重难点02函数的奇偶性（6种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点02函数的奇偶性（6种考法） 【目录】 考法1：函数奇偶性的定义与判断 考法2：由奇偶性求函数解析式 考法3：函数奇偶性的应用 考法4：由奇偶性求参数 考法5：由函数奇偶性解不等式 考法6：奇偶函数对称性的应用 二、命题规律与备考策略 一、奇函数 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 命题方向： 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 二、偶函数 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 命题方向： 与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用． 三．函数奇偶性的性质与判断 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 【命题方向】函数奇偶性的应用． 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率． 四．奇偶函数图象的对称性 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 【命题方向】 本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意． 五．奇偶性与单调性的综合 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 【命题方向】奇偶性与单调性的综合． 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点． 六．抽象函数及其应用 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性； 【命题方向】抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 考法1：函数奇偶性的定义与判断三、题型方法 一、单选题 1．（2023·上海崇明·统考一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海浦东新·统考二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 3．（2023·上海浦东新·校考一模）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测