专题03 导数的几何意义与函数的单调性（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题03 导数的几何意义与函数的单调性 知识归纳 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 4．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 5.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 6．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 7．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 题型归纳 题型一　求切线方程 题型二　求参数的值或范围 题型三　导数几何意义的应用 题型四 不含参数的函数的单调性 题型五 含参数的函数的单调性 题型六 函数单调性的应用 （一）比较大小或解不等式 （二）根据函数的单调性求参数 题型分类 题型一　求切线方程 例1：曲线在点处的切线的斜率为____________． 例2：函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 例3：曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例4：已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 【方法小结】 (1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0. (2)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 题型二　求参数的值或范围 例5：若直线与曲线相切，则的值为___________. 例6：直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 例7：若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______. 例8：若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______. 例9：若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 例10：若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________． 【方法小结】 (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上，故满足切线方程；③切点在曲线上，故满足曲线方程． (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法． 题型三　导数几何意义的应用 例11：已知直线是曲线与的公切线，则__________. 例12：若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 例13：在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 例14：若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法小结】 (1)求直线与曲线上点的最短距离，前提是曲线位于直线的同一侧，且曲线也位于与该直线平行的切线的同一侧，然后求切点到直线的距离即可． (2)公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 题型四 不含参数的函数的单调性 例15：函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 例16：函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【方法小结】 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单