重难点专项突破04相似三角形中的 “一线三等角”模型-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

重难点专项突破04相似三角形中的 “一线三等角”模型 【知识梳理】 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 【考点剖析】 例1.如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积． A B C D E 例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 例3.已知，在等腰中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE = 6，AF = 4，求底边BC的长． A B C D E F 例4.已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）当AP = AD时，求线段PC的长； （2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长． A B C D P A B C D （备用图） 例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2） ①求证:∽； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域. 【过关检测】 一、填空题 1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 3．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____． 二、解答题 4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 5．如图，在正方形中，点在上，交于点． （1）求证：； （2）连结，若，试确定点的位置并说明理由． 6．如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 7．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 8．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 9．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）． (1)求证：△AEF∽△DCE； (2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； (3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG． （1）求证：； （2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？ 12