重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型 【知识梳理】 “子母型”相似的图形特点：有一个公共角，                             一对完全重合的边，                             一对半重合的边，                             一对完全不重合的边。 子母型的结论：AB²=AD·AB   (重合边的平方等半重合边的乘积)                    特殊的子母型（双垂直型） 【考点剖析】 例1.如图，中，，于点D．求证：． A B C D 例2.如图，，于点，，，求的长． A B C D E 例3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 例4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 例5.如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证：AB2＝BG•BC； （3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值． 【过关检测】 一、填空题 1．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________． 2．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 3．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______． 二、解答题 4．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 5．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？ 6．已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 7．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 9．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 11．如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：． 12．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型 【知识梳理】 “子母型”相似的图形特点：有一个公共角，                             一对完全重合的边，                             一对半重合的边，                             一对完全不重合的边。 子母型的结论：AB²=AD·AB   (重合边的平方等半重合边的乘积)                    特殊的子母型（双垂直型） 【考点剖析】 例1.如图，中，，于点D．求证：． A B C D 【解析】， ． ． ， ， ． ，． ． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识 例2.如图，，于点，，，求的长． A B C D E 【答案】． 【解析】，，， ． 根据面积法，可知，解得． 又，，可得． ，代入可得：． ，，． 代入得：． 【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这