第四章 图形的相似 第5节 相似三角形判定定理的证明-【木牍教育】2023-2024学年九年级数学上册同步教学优质课件（北师大版）

数 学 BS 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 4.5* 相似三角形判定定理的证明 北师版九年级上册 第四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 课时A计划 课程导入 回顾旧识 我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？ (1)两角分别相等的两个三角形相似； (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边成比例的两个三角形相似． 你能证明它们一定成立吗？ 课时A计划 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 课程讲授 新课推进 探究1：判定定理1的证明 课时A计划 课程讲授 新课推进 证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 E D F ∠1=∠B，∠2 =∠C， ∴ ∴ A′ B′ C′ A B C 1 2 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF. ∴ ∴ 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. E D F A′ B′ C′ A B C 1 2 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∵∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴△ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴△ABC ∽△A'B'C'. E D F A′ B′ C′ A B C 1 2 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题1：证明过程中共作了几条辅助线，各辅助线是如何添加的？作辅助线的目的是什么？ 思考 截取线段找点D→作两条平行线→线段成比例 问题2：证得四边形DFCE是平行四边形目的是什么？ 平行四边形→线段相等→三边成比例 问题3：根据什么证得△ADE∽△ABC? 相似三角形的定义． 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知 ∠A= ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C B' A' C' 判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 探究2：判定定理2，3的证明 课时A计划 课程讲授 新课推进 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴ A′E = AC . 又∠A′=∠A. ∴ △A′DE ≌△ABC， ∴ △A′B′C′ ∽△ABC. ∵ A′D=AB， ∴ B A C D E B' A' C' 课时A计划 课程讲授 新课推进 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中， 求证：△ABC ∽△A'B'C' . A′ B′ C′ A C B 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ， ∴ △ADE∽△ABC. E D A′ B′ C′ A C B 又 ，AD=A′B′， 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ ， . E D A′ B′ C′ A C B 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？ 思考 作平行线→相似→相等→相似 问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？ 定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些． 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F， 试证明：△ABF∽△EAD. 证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD， ∠D＝90°， ∴∠BAF＝∠AED. ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝90°. ∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD. 例1 课时