第一章 特殊平行四边形 第3节 第三课时 正方形的性质与判定的综合应用-【木牍教育】2023-2024学年九年级数学上册同步教学优质课件（北师大版）

数 学 BS 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 1.3 正方形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第三课时 正方形的性质与判定的综合应用 前 言 学习目标及重难点 1.回顾正方形的性质及判定方法；（重点） 2.正方形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用 .（难点） 课时A计划 课程导入 正方形是________对称图形，它有______条对称轴．若正方形的边长为A，则它的对角线长为________，面积为________． 轴 4 a a2 回顾旧识 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：利用正方形的性质证明线段位置关系 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证：AM⊥DF. 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∵DE＝CF， ∴OE＝OF.在△AOE与△DOF中， OA＝OD， ∠AOE＝∠DOF＝90°， OE＝OF， ∴△AOE≌△DOF. 证明： 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴∠OAE＝∠ODF. ∵∠DOF＝90°， ∴∠DFO＋∠FDO＝90°. ∴∠DFO＋∠FAE＝90°. ∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF. 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由； 探索2：利用正方形的性质求线段的大小关系 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 AG2＝GE2＋GF2.理由如下： 如图，连接GC，由正方形的性质知AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG.在△ADG和△CDG中， AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG， GD＝GD， 所以△ADG≌△CDG. 课时A计划 所以AG＝CG. 由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°. 所以四边形GFCE为矩形， CG2＝CF2＋GF2.所以GE＝FC. 又因为AG＝CG， 所以AG2＝GE2＋GF2. 课程讲授 新课推进 课时A计划 (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 课程讲授 新课推进 如图，作AH⊥BD于点H，由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，所以∠BAH＝45°＝∠ABG， ∠GAH＝30°.所以AH＝BH，AG＝2HG. 因为AB＝1，所以在Rt△ABH中， 由勾股定理可得AH＝BH＝ . 在Rt△AGH中，由勾股定理可得 HG＝ .所以BG＝ . 课时A计划 探索3：利用正方形的性质解决相关问题 课程讲授 新课推进 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF. 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 下列结论： ①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC； ③EG＝DE＋BG； ④AG∥CF； ⑤S△FGC＝3.6. 其中正确结论的个数是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 D 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索4：正方形性质与判定的综合运用 如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A. (1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球 所得的四边形PQRS总是正方形； 例4 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS， ∴PB＝QC＝RD＝SA. ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS. ∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ． ∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形． 证明： 课时A计划 课程讲授 新课推进 又∵∠APS＋∠ASP＝90°， ∴∠APS＋∠BPQ＝90°. ∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ) ＝180°－90°＝90°. ∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形． 课时A计划 (2)四边形PQRS在什么时候面积最大？ 当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积． 解： 课程讲授 新课推进 课时A计划 习题解析 习题1 下列命题中，真命题是(　　) A．对角线相等的四边形是矩形 B