4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 思维导图 知识点总结 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad. (2)弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. (3)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与半径为r的圆交于点P(x，y) 定义 正弦 比值叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝ 余弦 比值叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝ 正切 比值(x≠0)叫作α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 sin α，cos α，tan α分别叫作α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数统称为α的三角函数. [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． 3．象限角 4．轴线角 典型例题分析 考向一 象限角及终边相同的角 例1．已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 感悟提升　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 【方法技巧与总结】 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 考向二 弧度制及其应用 例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 感悟提升　应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 考向三 等分角的象限问题 例3．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（       ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【方法技巧与总结】 先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示． 考向四 弧长与面积公式 例4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________． 【方法技巧与总结】 （1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制） （2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法 考向五 三角函数定义题 例5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（       ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；． 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；． 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负． 基础题型训练 一、单选题 1．若角满足，则角的终边落在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限. D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边分别与单位圆交于点和，那么（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰