第06讲 平面向量的线性运算（3种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 平面向量的线性运算（3种题型） 【知识梳理】 一、平面向量的相关概念 （1） 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； （2） 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； （3） 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； （4） 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； （5） 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； （6） 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 二、平面向量的加减法则 （1） 几个向量相加的多边形法则； （2） 向量减法的三角形法则； （3） 向量加法的平行四边形法则． 三、实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． （1） 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． （2） 如果k = 0或，那么． 四、实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 （1） ； （2） ； （3） ． 五、平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 六、单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：， 七、向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 八、向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【考点剖析】 题型一：实数与向量相乘 一、填空题 1．计算：=______． 2．计算：_________． 3．化简：______. 4． ＝______，＝______，＝______． 5．（2023·上海·一模）计算：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝_____． 6．已知向量与方向相反，长度为6，则_______ 7.向量与－2的方向_____． 8．如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么________．（用示） 9．如果，那么用、表示为_________． 二、解答题 10．（2023·上海·一模）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量. 11．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 12．如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 题型二：向量的相关概念 一、单选题 1．（2023·上海松江·统考一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 2．（2023·上海·一模）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是(　　) A．| B． C．与方向相同 D． 3．（2023·上海·一模）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·上海·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·上海·九年级校考期中）下列说法中不正确的是（    ） A． B．对于非零向量、、，，，则 C．若，那么或 D．若、均为单位向量，那么 6．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 7．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 8．（2022秋·上海徐汇·九年级校联考期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么． 9．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知一个单位向量，设向量、是非零向量，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·上海·九年级专题练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．单位向量有且只有一个 11．（2022·上海·九年级专题练习）关于非零向量，，，下列选项中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，都是单位向量，那么 C．