第03讲 正方形的性质与判定（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第3讲 正方形的性质与判定 1. 理解正方形的概念； 2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力； 4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力． 知识点 1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 知识点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型1：正方形的概念和性质】 【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．每条对角线平分一组对角 【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角 【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 【变式2-1】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式2-2】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2） 【变式2-3】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．76 B．24 C．48 D．88 【题型2：正方形的判定】 【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【变式3-1】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（　　） ①当AB＝DC时，它是菱形； ②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当∠ABC＝90°时，它是矩形； ④当AC＝BD时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD 【变式3-3】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形． 【变式4-1】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形． 【变式4-2】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：△ABF≌△DAE． （2）求证：四边形ABCD是正方形． 【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△