【暑假初升高衔接专题】第05讲 圆（4个考点4大题型）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第5讲 圆 1.直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 2.点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【题型1 圆与直线的位置关系】 【典例1】（2023春•下城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是BC的中点，连结OE，DE，BD． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． （2）若sinC＝，DE＝4，求S△ADE． 【变式1-1】（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12． （1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由； （2）求AB的长． 【变式1-2】（2023•徐州一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点． （1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长． 【变式1-3】（2023•兴隆台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB． （1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段CE的长． 【题型2 圆中弦切角综合应用】 【典例2】（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E． （1）求证AD＝AB； （2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径． 【变式2-1】（2022•简阳市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，，求BF的长． 【变式2-2】（2022•河北区一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC． （Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小； （Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小． 【题型3 辅助圆-定点定长】 【典例3】（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　　°． （2）【问题解决】 如图2