【暑假初升高衔接专题】第03讲 方程与不等式（3个考点3大题型）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第3讲 方程与不等式 1.二元二次方程的解法 方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 2.一元二次不等式解法 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．（1） （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有 两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 【题型1 解一元二次不等式】 【典例1】解下列不等式： （1）2x2﹣x﹣6＞0； （2）﹣2x2+x+3≥0； （3）x2﹣3x﹣2＜0． 【变式1-1】（2022•吉阳区校级开学）解下列不等式： （1）； （2）． 【变式1-2】解下列不等式： （1）3x2﹣7x+2＞0； （2）x2﹣x+9＜0； （3）（x﹣2）（x+1）＞6（2﹣x）； （4）（2x+1）（3﹣x）＞0； （5）（5x+2）2﹣8≥0； 【变式1-3】（2022秋•兴义市校级月考）求下列不等式的解集： （1）（x+2）（x﹣3）＞0； （2）3x2﹣7x≤10； （3）﹣x2+4x﹣4＜0； （4）x2﹣x+＜0； （5）﹣2x2+x≤﹣3； 【题型2 解二元二次方程】 【典例2】 解方程组 【变式2-1】方程组的解是　　　　　． 【变式2-2】解方程组 【变式2-3】解方程组： 【题型3 二次函数与不等式】 【典例3】（2023•黄冈一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣3x+900． （1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？ 【变式3-1】（2023•锦州模拟）为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500． （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月