【暑假初升高衔接专题】第02讲 一元二次方程与二次函数（两大考点10大题型）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第2讲 一元二次方程与二次函数 1.根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （2） 当Δ＜0时，方程没有实数根． 2.根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 3.二次函数图像的伸缩变换 问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数y＝ax2(a≠0) 4.二次函数图像的平移变换 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： 函数 二次函数（a、b、c