【暑假初升高衔接专题】第01讲 数与式的运算（4个考点6大题型）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第1讲 数与式的运算 1.绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离。 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 3.二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式的意义 4.分式 1．分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；；其性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【题型1 根据绝对值化简】 【典例1】（2022秋•朝阳区校级期中）阅读下列材料． 我们知道|x|＝，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． ∴|x+1|+|x﹣2|＝，通过以上阅读，解决问题： （1）|x﹣3|的零点值是x＝　　（直接填空）； （2）化简|x﹣3|+|x+4|； （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值． 【变式1-1】（2022秋•东港区校级月考）当1＜x＜3时，化简|x﹣3|+|x﹣1|． 【变式1-2】（2022秋•黔东南州期中）同学们都知道，|7﹣（﹣4）|表示7与﹣4之差的绝对值，实际上也可理解为7与﹣4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7﹣4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|7﹣（﹣4）|＝　　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|＝8这样的整数是　 　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣1|+|x﹣5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由． 【变式1-3】（2021秋•广丰区期末）对于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范围内讨论它的结果． （1）当x＜1时； （2）当1≤x≤5时； （3）当x＞5时． 【变式1-4】（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料． 我们知道|x|＝，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． ∴|x+1|+|x﹣2|＝，通过以上阅读，解决问题： （1）|x﹣3|的零点值是x＝　　（直接填空）； （2）化简