第05讲 正方形的性质与判定-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第05讲 正方形的性质与判定 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 考点1：正方形的性质 例1．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 例2．正方形具有而菱形不一定有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．四条边相等 考点2：利用正方形的性质求长度 例3．正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 例4．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长是（　　） A． B． C． D． 例5．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点3：利用正方形的性质求角度 例6．一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 例7．如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例8．如图，已知正方形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点4：利用正方形的性质求面积 例9．如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．100 例10．如图，在菱形中，，，则正方形的面积为（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 例11．如图，在中，，，．四边形是正方形，则正方形的面积是（    ） A．8 B．12 C．18 D．20 例12．如图将边长为的大正方形与边长为的小正方形放在一起，则三角形的面积（   ） A．与、大小都有关 B．与、的大小都无关 C．只与的大小有关 D．只与的大小有关 考点5：正方形的判定 例13．如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 例14．有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考点6：中点四边形 例15．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（    ） A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对 例16．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD 例17．若顺次联结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且平分 考点7：正方形的判定与性质综合 例18．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例19．如图，正方形的边长为，为边上一点与点、不重合，连接，交于点当是等腰三角形时，则的长为（    ） A． B．