考点09 线线角、线面角、二面角和点面距离4种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点09 线线角、线面角、二面角和点面距离4种常见考法归类 1、求异面直线所成的角 （1）求异面所成角的基本思路： 求异面直线所成角的基本思想是平移转换，核心内容是直线平移或探寻平行直线，以及依托三角形构造夹角，一般分三步进行，过程总结如下. 第一步，对异面直线进行平移或平行转换，有两种策略：一是固定一条直线，平移另一条；二是将两条直线同时平移到某一特殊位置，构成同一平面. 第二步，构建异面直线所成角，或者证明图形中某一夹角为所求角. 第三步，依托所求角构造三角形，通过解三角形完成求解. 另外，对于异面直线所成角问题，需要关注角度的取值范围，即取值范围为,故完成角度求解后，还需对其验证. （2）求异面直线所成角的基本方法 ①平移法 直接平移 中位线平移 平行四边形平移 补形平移 ②通过证线面垂直证异面直线所成的角为 2、求直线与平面所成的角几种基本方法 定义法 根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角. 平移法 平移法是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解. 等体积法 常常是通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图,已知平面α与斜线AP,PO⊥α,则P0线面角为∠PAO,，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂线段PO的长度可看作点P到平面α的距离，在平面α内找一个三角形(点A是其中一个顶点)与点P构成三棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的. 射影法 射影法是指将直线与平面所成的角转化为直线与它在平面内的射影所成的角来进行求解的方法.在求线面角时，首先要找到直线在平面内的射影，然后在直角三角形中计算垂线段、斜线段、射影的长或者三角函数，进而求得线面角的大小. 找斜线在平面内射影的常见依据有： （1）（两平面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面； （2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上； （3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线； （4）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的外心. 平面垂线法 直线与平面所成的角是高考重点内容之一，处理线面角常用几何综合法.使用几何综合法，根据线面角定义，需要作出直线在平面上投影，当投影位置没有在一个"好"的位置上，对角的计算带来不方便.故可考虑将直线与平面所成角问题，转化为直线与平面的垂线所成角，且两角是互余关系，这样可以提高解题成效. ①在线线垂直中找面的垂线 若几何体具有对称特征(如正三角形、矩形等),从中得到一些线线垂直有用的解题信息，为寻找线面垂直提供了良好的环境，解题时要充分发挥这些“垂直”条件的作用. ②在线面垂直中找面的垂线 找面的垂线转化为线线垂直，线线垂直又转化为线面垂直，根据题目实际情况，解题中往往需要将线面垂直与线线垂直之间不断相互转化. ③在面面垂直中找面的垂线 题目有面面垂直背景，根据平面与平面面垂直性质定理，先确定两个互相垂直平面的交线，然后选择一个平面，并在这个平面上选择适当的位置引平面交线的垂线，则得到平面的垂线. 公式法 如图，斜线PM在平面α内的射影是MO，直线MC在平面α内，若，，，则 3、求二面角常用的几种基本方法 直接法 （1） “三线合一型” 当二面角所在半平面为等腰三角形（或等边三角形）时，可利用等腰三角形"三线合一"性质，取棱所在线段的中点建构二面角的平面角。 如图：三棱锥 P-ABC中，△ABC为正三角形，PA=PB。取AB的中点O，联结 CO，PO，如下图，因为△ABC为正三角形，所以COAB。因为 PA=PB，所以POAB，所以是二面角P-AB-C的平面角。 （2）全等型 当二面角所在半平面的两个三角形全等时，可利用全等三角形的性质，过其中一个半平面所在三角形 的顶点作棱的垂线，联结垂足与另一个半平面所在三角形的顶点建构二面角的平面角. 如图：三棱锥 P-ABC 中，AB=BC，PA=PC.作AHPB，垂足为H，联结CH，如下图，在△PAB与△PCB中，因为BA=BC，PA=PC，PB=PB，所以△PAB△PCB（SSS），所以PBA=PBC。在△ABH 与△CBH中，因为 BA=BC，ABH=CBH，BH=BH，所以△ABH△C