重难点专项突破01相似三角形中的“8”字模型（3种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

重难点专项突破01相似三角形中的“8”字模型（3种题型） 【知识梳理】 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【考点剖析】 题型一：8字-平行型 （1）直接利用“8”字型解题 例1.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则 ． 例2.如图，为对角线上任意一点．求证：． 例3.如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交 于点． 求证：． 例4.如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）． 例5.如图，已知．，，求的长．（用、的代数式表示）． 例6.如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值． 例7.如图，，，，求的值． （2）添加辅助线构造“8”字模型解题 例8.过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证： ． A B C D E F 例9.如图，AD是的内角平分线．求证：． A B C D 题型二：8字-不平行型 例10.如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　） A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC 【过关检测】 一．选择题（共3小题） 1．（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•徐汇区一模）如图，点D在△ABC边AB上，∠ACD＝∠B，点F是△ABC的角平分线AE与CD的交点，且AF＝2EF，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（　　） A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm 二．填空题（共8小题） 4．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC＝8，则AE的长为　 　． 5．（2022•浦东新区校级模拟）如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设＝，试用向量表示向量，＝　 　． 6．（2022•静安区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点 E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC＝1：4，设＝，那么＝　 　．（用含向量的式子表示） 7．（2023•静安区校级一模）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝　 　． 8．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 　 　． 9．（2022秋•虹口区校级月考）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF＝CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC＝　 　． 10．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果＝＝，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是 　 　cm． 11．（2022春•闵行区校级月考）如图，梯形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB＝4，且＝，那么梯形ABCD的中位线等于 　 　． 三．解答题（共12小题） 12．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3． （1）求的值； （2）联结FC，设，，那么＝　 　，＝　 　.（用向量、表示） 13．（2023•奉贤区