五、圆·命题点3 三角形的内心与外心～命题点4 弧长、扇形面积的计算·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023河北中考数学题型题组集训

河北数学·夯实基础　 圆 　命题点３　三角形的内心与外心 　 　 　　　　　 　 　　 　 　　１．１０个大小相同的正六边形按如图所示方 式紧密排列在同一平面内，点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 Ｅ、Ｏ均是正六边形的顶点．则点Ｏ是下列 哪个三角形的外心 （Ｄ ） Ａ．△ＡＥＤ Ｂ．△ＡＢＤ Ｃ．△ＢＣＤ Ｄ．△ＡＣＤ 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，在正方形网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｏ都 在格点上．下列说法正确的是 （Ｄ ） Ａ．点Ｏ是△ＡＢＣ的内心 Ｂ．点Ｏ是△ＡＢＣ的外心 Ｃ．点Ｏ是△ＡＢＤ的内心 Ｄ．点Ｏ是△ＡＢＤ的外心 ３．如图，点Ｏ为锐角三角形ＡＢＣ的外心，四 边形ＯＣＤＥ为正方形，其中点 Ｅ在△ＡＢＣ 的外部，则下列叙述不正确的是 （Ｄ ） Ａ．点Ｏ是△ＡＥＢ的外心 Ｂ．点Ｏ是△ＢＥＣ的外心 Ｃ．点Ｏ是△ＡＥＣ的外心 Ｄ．点Ｏ是△ＡＤＢ的外心 第３题图 　 第４题图 ４．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｏ是△ＢＣＤ 的内心，连接ＢＯ并延长交 ＣＤ于点 Ｆ，则 ∠ＢＦＣ的度数是 （Ｃ ） Ａ．４５° Ｂ．６０° Ｃ．６７．５°Ｄ．７５° ５．如图，在平面直角坐标系中，Ａ（０，－３）， Ｂ（２，－１），Ｃ（２，３）．则△ＡＢＣ的外心坐标 为 （Ｄ ） Ａ．（０，０） Ｂ．（－１，１） Ｃ．（－２，－１） Ｄ．（－２，１） 第５题图 　 第６题图 ６．有一题目：“△ＡＢＣ内接于半径为 ５的 ⊙Ｏ，ＡＢ＝ＡＣ，若ＢＣ＝６，求ｔａｎ∠ＡＢＣ”．嘉 嘉的解答为：如图，画△ＡＢＣ以及它的外 接圆⊙Ｏ．过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，连接 ＯＢ，因为ＢＣ＝６，所以 ＢＤ＝３，所以 ＯＤ＝ ４，所以ＡＤ＝９，所以ｔａｎ∠ＡＢＣ＝３，而淇淇 说：“嘉嘉考虑不周全，ｔａｎ∠ＡＢＣ还应有 另一个不同的值”．下列判断正确的是 （Ｃ ） Ａ．淇淇说的不对，ｔａｎ∠ＡＢＣ的值就是３ Ｂ．嘉嘉求的结果不对，ｔａｎ∠ＡＢＣ的值应 为 ４ ９ Ｃ．淇淇说的对，且 ｔａｎ∠ＡＢＣ的另一个值 是 １ ３ Ｄ．两人都不对 ７．如图，ＡＨ是△ＡＢＣ的高，点Ｏ是△ＡＢＣ的 外心，若 ＡＣ＝２４，ＡＨ＝１８，ＯＣ＝１３，则 ＡＢ 的长为 （Ｄ ） Ａ．１３ Ｂ．１５ Ｃ．１０４３ Ｄ． ３９ ２ 第７题图 　 第８题图 ８．如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的内心，也是△ＤＢＣ的 外心．若∠Ａ＝８０°，则∠Ｄ的度数是 （Ｂ ） Ａ．６０° Ｂ．６５° Ｃ．７０° Ｄ．７５                                                                  ° ７３ 河北数学·夯实基础　 圆 ９．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的内切圆，切点分别为点Ｄ、Ｅ、Ｆ． （１）求证：四边形ＯＥＣＦ是正方形； （２）若ＡＦ＝１０，ＢＥ＝３，求⊙Ｏ的面积． 第９题图 （１）证明：∵点Ｅ、Ｆ是⊙Ｏ的切点， ∴ＯＥ⊥ＢＣ，ＯＦ⊥ＡＣ， ∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＦＣ＝∠Ｃ＝９０°， ∴四边形ＯＥＣＦ是矩形． ∵ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＯＥＣＦ是正方形； （２）解：∵⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆， ∴ＡＦ＝ＡＤ，ＢＥ＝ＢＤ， ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝ＡＦ＋ＢＥ＝１０＋３＝１３． 设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＡＣ＝１０＋ｒ，ＢＣ＝ ３＋ｒ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＡＣ２＋ ＢＣ２＝ＡＢ２，即（１０＋ｒ）２＋（ｒ＋３）２＝１３２， 解得ｒ＝２或ｒ＝－１５（舍去）． ∴⊙Ｏ的面积为４π． １０．如图，∠Ａ＝∠Ｂ，ＡＥ＝ＢＥ，点 Ｄ在 ＡＣ边 上，∠１＝∠２． （１）求证：△ＡＥＣ≌△ＢＥＤ； （２）若∠Ｃ＝７５°，求∠ＡＥＢ的度数； （３）若∠ＡＥＣ＝９０°，当△ＡＥＣ的外心在 直线ＤＥ上时，ＣＥ＝２，求ＡＥ的长． 第１０题图 （１）证明：∵∠ＡＤＥ＝∠１＋∠ＤＣＥ＝ ∠２＋∠ＢＤＥ，且∠１＝∠２， ∴∠ＤＣＥ＝∠ＢＤＥ， ∵∠Ａ＝∠Ｂ，ＡＥ＝ＢＥ， ∴△ＡＥＣ≌△ＢＥＤ（ＡＡＳ）； （２）解：∵△ＢＥＤ≌△ＡＥＣ， ∴ＤＥ＝ＥＣ，∠ＢＥＤ＝∠ＡＥＣ， ∴∠ＥＤＣ＝∠Ｃ＝７５°， ∴∠１＝１８０°－∠ＥＤＣ－∠Ｃ＝１８０°－ ２×７５°＝３０°， ∵∠ＢＥＤ＝∠ＡＥＣ， ∴∠ＡＥＢ＝∠１＝３０°； （３）解：∵∠ＡＥＣ＝９０°， ∴△ＡＥＣ的外心是斜边ＡＣ的中点， ∵△ＡＥＣ的外心在直线ＤＥ上， ∴点Ｄ是ＡＣ的中点， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝ＤＥ， 又∵ＤＥ＝ＥＣ， ∴ＣＤ＝ＥＣ＝ＤＥ， ∴△ＥＣＤ是等边三角形， ∴∠Ｃ＝６０°， ∴在Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＥ＝槡３ＥＣ＝２槡３                  