五、圆·命题点2 与切线有关的证明与计算·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023河北中考数学题型题组集训

河北数学·夯实基础　 圆 　命题点２　与切线有关的证明与计算 第１题图 基础回顾 １．如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＡＢ＝５，以Ｃ为圆心，ｒ（ｒ＞０）为半径作⊙Ｃ． （１）若点Ａ在⊙Ｃ上，则ｒ＝　３　； （２）若点Ａ在⊙Ｃ外，则ｒ的取值范围是　０＜ｒ＜３　； （３）若△ＡＢＣ只有两个顶点在⊙Ｃ内，则ｒ的取值范围是　３＜ｒ≤４　； （４）若ｒ＝２，直线ＡＢ与⊙Ｃ的位置关系是　相离　； （５）若点Ａ在⊙Ｃ上，则直线ＡＢ与⊙Ｃ的位置关系是　相交　； （６）若直线ＡＢ与⊙Ｃ相切，则ｒ的值是　　　　． 　 　 　　　　　 　 　　 　 　　２．如图，ＡＰ切⊙Ｏ于点Ａ，ＯＰ交⊙Ｏ于点Ｂ， ＢＰ＝５，∠Ｐ＝３０°，则线段ＡＰ的长为 （Ｄ ） Ａ．１０ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．５槡３ 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＢＣ是⊙Ｏ 的直径，ＭＮ与⊙Ｏ相切，切点为点 Ａ．若 ∠ＭＡＢ＝３０°，则∠Ｂ等于 （Ｄ ） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ４．一根钢管放在 Ｖ形架内，如图是其截面 图，Ｏ为钢管的圆心，如果钢管的直径为 ２０ｃｍ，∠ＭＰＮ＝６０°，则ＯＰ的长度是 （Ｄ ） 第４题图 Ａ．４０槡３ｃｍ Ｂ．４０ｃｍ Ｃ．２０槡３ｃｍ Ｄ．２０ｃｍ ５．如图，点Ｃ在⊙Ｏ的直径ＡＢ的延长线上，点 Ｐ是⊙Ｏ上任意一点，且满足∠ＢＰＣ＝∠Ａ． （１）求证：ＰＣ与⊙Ｏ相切； （２）若⊙Ｏ的半径为槡５，ｔａｎ∠ＢＰＣ＝ １ ２，求 切线ＣＰ的长． 第５题图                                              ５３ 河北数学·夯实基础　 圆 ６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ、Ｄ在⊙Ｏ 上，且ＣＤ平分∠ＡＣＢ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＢ 交ＣＢ延长线于点Ｅ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＡＣ＝４，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２，求ＤＥ的长． 第６题图 （１）证明：连接ＯＤ，如解图， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝９０°， ∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＡＣＤ＝４５°， ∴∠ＡＯＤ＝２∠ＡＣＤ＝９０°， ∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：过点 Ｂ作 ＢＧ⊥ＤＥ于点 Ｇ，如 解图， ∴∠ＢＧＤ＝∠ＢＧＥ＝９０°， ∵∠ＡＯＤ＝９０°，∴∠ＤＯＢ＝９０°， 又∵∠ＯＤＧ＝９０°， ∴四边形ＯＤＧＢ是矩形， ∵ＯＤ＝ＯＢ， ∴四边形ＯＤＧＢ是正方形， ∴ＯＢ＝ＯＤ＝ＤＧ＝ＢＧ， ∵ＡＣ＝４，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２， ∴ＢＣ＝２，∴ＡＢ＝２槡５， ∴ＤＧ＝ＢＧ＝１２ＡＢ＝槡５， ∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｅ， ∴∠ＥＢＧ＝∠ＢＡＣ， ∴ｔａｎ∠ＥＢＧ＝ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２， ∴ＥＧ＝１２ＢＧ＝ 槡５ ２， ∴ＤＥ＝ＤＧ＋ＥＧ＝３槡５２． ７．如图①，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝１０， Ｐ，Ｑ分别是 ＡＢ，ＢＣ的中点，点 Ｅ是折线 段ＰＡ－ＡＤ上一动点． （１）点Ｃ到直线ＥＱ距离的最大值是　５　； （２）如图②，以 ＥＱ为直径，在 ＥＱ的右侧 作半圆Ｏ． ①当半圆Ｏ经过点Ｄ时，求半圆Ｏ被 边ＢＣ所在直线截得的弧长；（注： ｔａｎ３９°≈４５，ｓｉｎ５３°≈ ４ ５） ②当半圆 Ｏ与边 ＡＤ相切时，设切点 为点Ｍ，求ｔａｎ∠ＯＡＭ的值． 图① 　 图② 第７题图 解：（１）５； （２）①如解图①，当半圆Ｏ经过点Ｄ时， 点Ｅ恰好在点Ｄ处， ∵∠ＤＣＱ＝９０°， ∴点Ｃ在半圆Ｏ上，连接ＯＣ， 在 Ｒｔ△ＤＣＱ中，ＤＣ＝４，ＣＱ＝１２×１０ ＝５， ∴ＤＱ＝ ＤＣ２＋ＣＱ槡 ２ ＝槡４１，ｔａｎ∠ＤＱＣ ＝４５， ∴∠ＤＱＣ≈３９°， ∴∠ＱＯＣ≈１８０°－２∠ＤＱＣ＝１８０°－２× ３９°＝１０２°， ∴ｌ)ＣＱ＝ １０２×π×槡４１２ １８０ ＝ １７槡４１ ６０ π； ②ｔａｎ∠ＯＡＭ的值为８９８０或 ２ ５． 详解见答案册                                                                     Ｐ９． ６３ 河北数学·参考答案 夯 实 基 础 ∴ＡＥ＝２ＡＯ＝６， ∴ＯＥ＝ ＡＥ２－ＡＯ槡 ２＝ ６２－３槡 ２ 槡＝３３， ∴ＤＥ＝ＯＥ 槡＝３３， ∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ 槡＝６＋３３． 命题点２　矩形、菱形、正方形的性质与判定 １．（１）３５°；１１０°；（２）１０；５ ２．（１）１５°；７５°；３０°；（２）槡２５；槡８５；１６ ３．