三、三角形·命题点3 全等三角形的性质与判定·巩固提升三轮冲刺-【一战成名】 2023河北中考数学题型题组集训

河北数学·夯实基础　 三 角 形 　命题点３　全等三角形的性质与判定 第１题图 基础回顾 １．如图，在横线上添加适当的条件使得△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ（不添加任何辅助线），并说明判定 方法． （１）已知ＥＡ∥ＤＦ，ＡＥ＝ＤＦ： ①添加的条件①为　ＡＢ＝ＣＤ（或 ＡＣ＝ＤＢ）　，判定方法 为ＳＡＳ； ②添加的条件②为∠Ｅ＝∠Ｆ（或∠ＡＣＥ＝∠ＤＢＦ），判定方法 为　ＡＳＡ（或ＡＡＳ）　； （２）已知ＡＥ＝ＤＦ，ＥＣ＝ＦＢ： ①添加的条件①为　ＡＢ＝ＣＤ（或ＡＣ＝ＤＢ）　，判定方法为ＳＳＳ； ②添加的条件②为　∠Ｅ＝∠Ｆ　，判定方法为ＳＡＳ； （３）已知ＥＣ∥ＢＦ，ＡＢ＝ＣＤ： ①添加的条件①为　∠Ｄ＝∠Ａ（或ＥＡ∥ＤＦ）　，判定方法为ＡＳＡ； ②添加的条件②为ＥＣ＝ＦＢ，判定方法为　ＳＡＳ　； ③添加的条件③为∠Ｅ＝∠Ｆ，判定方法为　ＡＡＳ　． 　 　 　　　　　 　 　　 　 　　２．如图，在△ＡＢＣ中，Ｏ为 ＢＣ中点，ＢＤ∥ ＡＣ，直线ＯＤ交ＡＣ于点Ｅ． （１）求证：△ＢＤＯ≌△ＣＥＯ； （２）若ＡＣ＝６，ＢＤ＝４，求ＡＥ的长． 第２题图 （１）证明：∵Ｏ为ＢＣ的中点， ∴ＢＯ＝ＣＯ， ∵ＢＤ∥ＡＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＯＢＤ，∠ＣＥＯ＝∠ＢＤＯ， 在△ＢＤＯ和△ＣＥＯ中， ∠ＣＥＯ＝∠ＢＤＯ， ∠Ｃ＝∠ＯＢＤ， ＯＣ＝ＯＢ{ ， ∴△ＢＤＯ≌△ＣＥＯ（ＡＡＳ）； （２）解：由（１）知△ＢＤＯ≌△ＣＥＯ， ∴ＢＤ＝ＣＥ， ∵ＢＤ＝４，∴ＣＥ＝４， ∵ＡＣ＝６， ∴ＡＥ＝６－４＝２． ３．如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，Ｄ是ＢＣ边上 一点，ＡＣ＝ＡＥ，∠Ｃ＝∠Ｅ，已知∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＥ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ； （２）若∠ＥＡＣ＝５０°，求∠Ｂ的度数． 第３题图 （１）证明：∵∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＥ＋∠ＤＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ∠Ｃ＝∠Ｅ， ＡＣ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ{ ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＡＳＡ）； （２）解：∵△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，∴ＡＢ＝ＡＤ， ∴∠Ｂ＝∠ＡＤＢ， ∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ＝５０°， ∴∠Ｂ＝１２×（１８０°－５０°）＝６５                                        °． ３２ 河北数学·夯实基础　 三 角 形 ４．如图，Ａ，Ｅ，Ｆ，Ｂ在同一条直线上，ＣＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，ＡＥ＝ ＢＦ，∠Ａ＝∠Ｂ． （１）求证：△ＡＤＦ≌△ＢＣＥ； （２）当ＢＣ⊥ＡＤ，ＡＥ＝槡２，ＯＡ＝３时，求ＯＤ 的长． 第４题图 （１）证明：∵ＣＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＦＤ＝∠ＢＥＣ＝９０°， ∵ＡＥ＝ＢＦ， ∴ＡＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ，即ＡＦ＝ＢＥ， 在△ＡＤＦ和△ＢＣＥ中， ∴ＯＤ＝ＡＤ－ＯＡ＝４－３＝１． ５．如图，△ＡＢＤ和△ＢＣＥ都是等边三角形， 连接ＡＥ与ＣＤ，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｈ． （１）证明：ＡＥ＝ＤＣ； （２）求∠ＡＨＤ的度数． 第５题图 （１）证明：∵△ＡＢＤ和△ＢＣＥ都是等边 三角形， ６．如图，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，Ｅ是ＡＢ上一点，且 ＡＤ＝ＢＥ＝槡２，∠１＝∠２． （１）求证：Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＢＥＣ； （２）若∠ＡＤＥ＝６０°，求ＣＤ的长． 第６题图 （１）证明：∵∠１＝∠２， ∴ＤＥ＝ＣＥ， 在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＢＥＣ中， ＡＤ＝ＢＥ， ＤＥ＝ＣＥ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＢＥＣ（ＨＬ）； （２）解：∵∠ＡＤＥ＝６０°，∠Ａ＝９０°， ∴∠ＡＥＤ＝３０°， ∵ＡＤ＝ＢＥ＝槡２， ∴ＤＥ＝２ＡＤ＝２槡２，∴ＣＥ＝２槡２， 由（１）知Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＢＥＣ， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＥ＝６０°， ∴∠ＤＥＣ＝１８０°－３０°－６０°＝９０°， 在Ｒｔ△ＤＥＣ中，根据勾股定理，得 ＣＤ＝ （２槡２） ２＋（２槡２）槡 ２＝４                                                                     ． ４２ 河北数学·参考答案 夯 实 基 础 解得ａ＝－１， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－（ｘ－１）２－４． １５．解：∵ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ａ－４， ∴抛物线对称轴为直线ｘ＝２ａ－２ａ＝－１． 设Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０）， ∵ＡＢ＝４，∴ｘ１＋ｘ２＝－２，ｘ２－ｘ１＝４， ∴ｘ１＝－３，ｘ２＝１， ∴Ａ（－３，０），Ｂ（１，０）， 将Ｂ（１，０）代入ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ａ－４，解得ａ＝１， ∴抛物线的解析