考点08 直线和平面的平行、垂直问题9种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点08 直线和平面的平行、垂直问题9种常见考法归类 1、 证明方法“一找二作三证明” “一找二作三证明”是笔者在教学实践中总结的一种证明线面平行或线面垂直方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下： 第一步，就是“一找”:(1)根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，要证明线面垂直，就要在此平面内“找”出两条相交的直线分别与此直线垂直.其次是“一找”的原则：一是要“找”的都是线线平行或线线垂直，二是要在一个平面图形中“找”. 第二步，就是“二作”:在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行或线线垂直的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解“二作”,第一方面，“作”就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”;第二方面，每一次“作”的时候都要围绕证明所需去“作”,要证平行关系就去“作”线线平行，要证垂直关系就去“作”线线垂直；第三方面，要把线线平行或线线垂直的关系“作”在一个平面图形中。 第三步，就是“三证明”:经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在“三证明”中要注意三点， 第1， 数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件. 2、 “一找”依据 线线平行的常见找法依据： （1）构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 （2）构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 （3）利用相似比寻找线平行 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。 （4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。 （5）构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. （6）利用线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. （7）平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线平行. 线线垂直的常见找法依据： （1）相交直线 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， （2）异面直线 ①通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直于底面 ②平移法 通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 3、“二作”小结 在“二作”中，恰当地“作”出满足题意的辅助线或辅助面对解题带来很大的便捷.对于一些复杂的题型，常常需要找到准确的切入点，运用“二作”构造辅助线或辅助面，快速地把立体几何问题