第04讲相似三角形的判定（6种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲相似三角形的判定（6种题型） 【知识梳理】 一、相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则． 三、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 常见模型如下： 四、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 五、相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 六、直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． A B C A1 B1 C1 【考点剖析】 题型一：相似三角形的预备定理 例1.如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？ A B C D E F 例2.如图，在梯形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求． A B C D E F M 题型二：相似三角形判定定理1 例3.根据下列条件判定与是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来． （1），，； （2），，，． 例4.如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？ A B C D E 1 2 3 例5.如图，、分别是的边、上的点，且． 求证：． A B C D E 例6.如图，是等边三角形，，求证． A B C D E 例7.正方形中，是中点，于点，厘米，求的长． 例8.如图，在中，，，是内一点，且． 求证：． A B C P 例9.如图，在中，，//，点在边上，与相交于点 ， 且． （1）求证：； （2）． A B C D E F G 题型三：相似三角形判定定理2 例10.如图，四边形的对角线与相交于点，，，， ． 求证：与是相似三角形． A B C D O 例11.如图，点是的边上的一点，且．求证：． A B C D 例12.如图，在与中，，．求证：． A B C D E 例13.在和中，由下列条件不能推出的是（ ） （A）， （B），， （C）， （D），， 例14.如图，是内一点，是外一点，，， 求证：． A B C D E 例15.如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）． A B C D E F G 题型四：相似三角形判定定理3 例16.根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1），，，，， （2），，，，，． 例17.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：∽． A B C D E F 例18.如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． A B C D E F 例19.如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足． 求证：∽． A B C D E 例20.如图，在中，，，，，． 求证：∽． A B C D 例21.已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． A B C D E F 题型五：直角三角形相似的判定定理 例22.在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形 是否相似，并说明理由． （1），； （2），，，； （3），，，； （4），