2.3.3 直线与圆的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.3.3　直线与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过判定直线与圆的位置关系以及解决有关圆的切线、弦长问题培养直观想象素养、数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 知识点二　直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)，半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝． d<r⇔直线l与圆M相交； d＝r⇔直线l与圆M相切； d>r⇔直线l与圆M相离． 1．直线与圆相交的性质 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB的中点为D，则 (1)点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距； (2)CD⊥l； (3)|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2. 2．直线与圆相切的性质 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则 (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝r； (3)切点P在直线l上，也在圆上． 3．求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.特别地，若(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 4．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为 d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为 d＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　　) (4)过圆外一点作圆的切线，该切线有两条．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 B．± C．± D．± (2)若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝________． (3)直线4x－3y＋1＝0与圆x2＋y2－8x＋2y＝8的位置关系是________． (4)当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围为________． 答案　(1)C　(2)2　(3)相交　(4)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　直线与圆位置关系的判断 例1　(1)(2023·上海市控江中学高二期末)已知圆O：x2＋y2＝1，直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R，则直线lα与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 [解析]　因为圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r＝1，则圆心O(0，0)到直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R的距离d＝ ＝1＝r，所以直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R与圆O：x2＋y2＝1相切．故选C. [答案]　C (2)已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ [解]　解法一：联立 得2x2－2(1＋b)x＋b2＋