第二章 平面解析几何 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 一、直线的倾斜角与斜率 1．要正确理解直线倾斜角的定义，明确直线倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记直线的斜率公式k＝(x2≠x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线的斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的增区间，当α的取值在此区间内由0增大到时，k由0增大到＋∞；当α∈时，k也是关于α的增函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0(α≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断． 3．要正确运用直线的方向向量和法向量，首先，一条直线的方向向量与法向量互相垂直，其次由方向向量或法向量可得到直线的斜率，即若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则u＝0时，斜率不存在；u≠0时，斜率k＝. 二、直线方程的几种形式 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论． 三、两直线的平行与垂直 直线方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 ⇔A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0，与l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0. 四、距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) d＝ 两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝ 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 五、圆的方程 1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． 3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 六、点与圆的位置关系 1．点在圆上 (1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． (2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么点在圆上． 2．点不在圆上 (1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内． (2)点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到