2.7.1 抛物线的标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.7.1　抛物线的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：抛物线的定义及其标准方程的四种形式． 教学难点：应用抛物线的定义及其标准方程解决问题． 核心素养：1.通过对抛物线定义的学习培养数学抽象素养.2.通过应用抛物线的定义及其标准方程解决问题培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－py(p>0) y＝ 特别提醒：对抛物线标准方程的理解 (1)不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈； (2)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的； (3)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. 1．求抛物线方程的方法 (1)定义法 直接利用抛物线的定义求解． (2)待定系数法 尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程遵循先定位，后定量的原则． (3)统一方程法 对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量．同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay(a≠0)． 2．在解决有关抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离 (1)若点M(x，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则|MF|＝x＋. (2)若点M(x，y)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝－x. (3)若点M(x，y)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y＋. (4)若点M(x，y)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝－y. 3．如果一个点在抛物线上，常可利用抛物线的方程形式，灵活设点的坐标 (1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，常可设该点坐标为. (2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. 对抛物线上点的坐标进行计算时，还要注意抛物线上点的坐标的范围限制．如抛物线y2＝2px(p>0)上点的横坐标应大于或者等于零，这点在解题时常会被忽略． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) (2)抛物线的标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　　) (3)抛物线的方程都是二次函数．(　　) (4)抛物线y＝－x2的准线方程是y＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知抛物线y2＝2x上一点P(m，2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________． (2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________． (3)若抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________． 答案　(1)2　　(2)　(3)13 题型一　抛物线的定义及其应用 例1　(1)动圆过点(－3，0)，且与直线x＝3相切，求动圆的圆心M的轨迹方程． [解]　设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，则圆心到点(－3，0)的距离与其到直线x＝3的距离相等，根据抛物线的定义，易知动圆的圆心M的轨迹方程为y2＝－12x. (2)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3，2)．求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． [解]　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±. ∵>2，∴点A在抛物线的内部． 过点P作PQ垂直于抛物线的准线l：x＝－于点Q， 由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|的值最小，最小值为， 即|PA|＋|PF|的最小值为， 此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2， ∴点P的坐标为(2，2)． 感悟提升 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、