1.2 1.2.4 二面角-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.2.4　二面角 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量语言表述平面与平面的夹角.2.能用向量方法解决平面与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：求二面角的常用方法． 教学难点：1.用向量法求二面角.2.两个平面的法向量的夹角与二面角的关系． 核心素养：1.通过对二面角的有关概念的学习培养数学抽象素养.2.通过求二面角的大小培养直观想象素养、逻辑推理素养及数学运算素养． 知识点一　二面角及其度量 (1)二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β． (2)二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． (3)二面角的大小 ①二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°． ②两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 知识点二　用空间向量求二面角的大小 如下图，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sinθ＝sin〈n1，n2〉． 1．二面角的平面角定义的理解 (1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上． (2)二面角的平面角的两边分别在二面角的两个半平面内． (3)二面角的平面角的两条边与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关． 2．二面角的求法 (1)定义法． (2)三垂线定理法：A∈β，过A作AB⊥α交平面α于点B，在α内作BO⊥l于点O，连接AO，由三垂线定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α－l－β的平面角，如图． (3)用公式cosθ＝，其中S′为射影面积，S为原图形面积． (4)向量法：包括两类：①在二面角的两个半平面内作垂直于棱的垂线，把问题转化为求两条垂线的方向向量的夹角；②建立空间直角坐标系，求出二面角两个半平面的法向量n1，n2，则〈n1，n2〉或其补角的大小为二面角的大小． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角是指两个平面相交的图形．(　　) (2)二面角的大小范围是.(　　) (3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(　　) (4)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________． (2)平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量为n2＝(－3，1，3)，则α与β所成的角是________． (3)若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________． 答案　(1)　(2)90°　(3)120° 题型一　利用定义法求二面角 例1　如图所示，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB.求二面角A－VB－C的余弦值． [解]　如图，作AE⊥VB于点E，连接EC，由VA＝AB可知E是VB的中点， 又知VC＝BC，故EC⊥VB. ∴∠AEC是二面角A－VB－C的一个平面角． 设AB＝a，连接AC， 在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a， 由余弦定理可知， cos∠AEC＝ ＝－， ∴二面角A－VB－C的余弦值为－. 感悟提升 二面角的求法 (1)先作出二面角的平面角，方法有：定义法、垂面法、垂线法． (2)证明所作出的角为二面角的平面角． (3)通过解三角形等方法求出这个平面角的大小． [跟踪训练1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，E，F分别为PA，PD的中点，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4. (1)证明：EF∥平面PBC； (2)求二面角F－CD－B的余弦值． 解　(1)证明：∵E，F分别为PA，PD的中点，∴AD∥EF. ∵AD∥BC，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC. (2)∵AB⊥AD，AD∥BC，∴AB⊥BC. 连接AC，由AB＝BC＝2， 得AC＝＝2. ∵AD＝4，∴CD＝＝2， ∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD. ∵PA