1.2 1.2.3 直线与平面的夹角-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.2.3　直线与平面的夹角 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量语言表述直线与平面的夹角.2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：求线面角的常用方法． 教学难点：能利用几何关系确定斜线的射影以及公式cosθ＝cosθ1cosθ2中各角的含义． 核心素养：通过学习斜线与平面所成的角的概念及性质培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　直线与平面所成的角 (1)定义 引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角． (2)直线与平面所成角θ的范围：θ∈． 知识点二　斜线与平面所成角的性质 (1)线线角、线面角的关系式 关系式：如图，AA′⊥α，OA′，OM⊂α，则图中θ，θ1，θ2之间的等量关系是cosθ＝cosθ1cosθ2． (2)最小角定理 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 知识点三　用空间向量求直线与平面的夹角 如图，如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则 θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－． 特别地，cosθ＝sin〈v，n〉，sinθ＝|cos〈v，n〉|． 1．直线与平面所成角的求法 (1)几何法：找出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获得． (2)向量法：设直线l的方向向量为v，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，v与n的夹角为φ，则有cosθ＝sinφ或sinθ＝|cosφ|＝. 2．对公式cosθ＝cosθ1cosθ2的理解 由0≤cosθ2≤1，得cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ. 在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1cos90°＝0. ∴θ＝90°.此即三垂线定理，反之，若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(　　) (2)线面角和异面直线所成角的范围都是.(　　) (3)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与该平面的夹角为90°.(　　) (4)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，那么这条直线与该平面的夹角为0°.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，且cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)已知直线l∩平面α＝A，B是直线l上一点，AB＝6，直线l与平面α所成的角为60°，则线段AB在平面α内的射影长为________． (3)正四面体A－BCD中，棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________． 答案　(1)A　(2)3　(3) 题型一　用定义法求线面角 例1　(2023·甘肃西北师大附中高二期中)如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB＝AD＝4，BC＝6，BD＝4，直线AC与底面BCD所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° [解析]　取BD的中点O，连接AO，OC，则AO⊥BD，因为侧面ABD⊥底面BCD，侧面ABD∩底面BCD＝BD，AO⊂侧面ABD，所以AO⊥底面BCD，因为OC⊂底面BCD，所以AO⊥OC，所以∠ACO就是直线AC与底面BCD所成的角，因为BC⊥CD，BC＝6，BD＝4，所以CO＝2，在Rt△AOD中，AO＝＝2，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，即∠ACO＝30°，所以直线AC与底面BCD所成角的大小为30°.故选A. [答案]　A 感悟提升 在求解斜线和平面所成的角的过程中，确定点在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面内的射影的位置有以下几种方法： (1)斜线上任意一点在平面内的射影必在斜线的射影上； (2)利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影． [跟踪训练1]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成的角为________． 答案　30° 解析　如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B