1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系． 教学重点：1.平面法向量的概念.2.用向量方法解决直线与平面平行、垂直的证明问题． 教学难点：用向量方法解决直线与平面平行、垂直的问题． 核心素养：1.通过对平面法向量概念的学习提升数学抽象素养和数学运算素养.2.通过运用平面的法向量证明线面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养． 知识点一　平面的法向量 (1)定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． (2)性质 ①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 知识点二　直线与平面平行、垂直的判定 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． 平面的法向量的定义及应用 (1)平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量． (2)直线与平面垂直的判定，必须证直线与平面内的两条相交直线垂直，至于两直线与已知直线是否有公共点，并不重要． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行于直线l，则a是平面α的一个法向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　　) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则________． (2)已知直线l∥平面α，且直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________． (3)在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若n为平面ABC的一个法向量，且n＝(－1，y，z)，则y＝________，z＝________． 答案　(1)l⊥α　(2)－8　(3)1　0 题型一　求平面的法向量 例1　(1)(2023·重庆市实验中学高二阶段练习)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，平面OCB1的一个法向量n＝(x，y，z)可以为(　　) A．(0，1，1) B．(1，－1，1) C．(1，0，－1) D．(－1，－1，1) [解析]　∵四边形ABCD是正方形，且AB＝，∴AO＝OC＝1，∴OA1＝1，∴A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，∴＝(1，1，0)，＝(0，1，0)，又＝＝(1，1，0)，∴B1(1，1，1)，＝(1，1，1)，∵平面OCB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得y＝0，x＝－z，结合选项，可得n＝(1，0，－1)．故选C. [答案]　C (2)已知点A(2，0，0)，B(0，5，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的单位法向量． [解]　设一个单位法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(－2，5，0)，＝(－2，0，3)， 由法向量的定义及题意得 解得n＝或n＝. 感悟提升 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． [跟踪训练1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，E，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0)． 设n