第一章 空间向量与立体几何 单元质量测评-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

第一章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知m＝(－2，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的一个方向向量，n＝(2，－1，2)是平面α的一个法向量．若l⊥α，则下列结论正确的是(　　) A．a－3b－4＝0 B．a－3b－5＝0 C．a＝－，b＝ D．a＝，b＝－ 答案　C 解析　若l⊥α，则m＝λn，即解得又a－3b＝－－＝－5，即a－3b＋5＝0.故选C. 2．(2023·广东高二阶段练习)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，且＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B．－ C．0 D．－1 答案　D 解析　∵＝＋＝－＝－＝(－)－＝－－＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1，∴x＋y＋z＝－1. 3．一束光线自点P(－1，1，1)发出，被yOz平面反射后到达点Q(－6，3，3)被吸收，则光线所走的路程是(　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　因为点Q(－6，3，3)关于yOz平面的对称点为Q′(6，3，3)，所以光线所走的路程为||＝＝.故选C. 4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　C 解析　如图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2. 5．已知直线l的一个方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　由已知得＝(－1，－1，－1)，因为直线l的一个方向向量为n＝(1，0，2)，所以点P(1，2，2)到直线l的距离为＝＝＝.故选D. 6.如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则B(0，3，0)，C(－3，0，0)，S(0，0，3)，又SE＝SB，所以＝＋＝＋＝(0，0，3)＋(0，3，－3)＝，＝(－3，0，－3)，则cos〈，〉＝＝＝－，设异面直线SC与OE所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝，sinθ＝，所以tanθ＝＝＝.故选D. 7.(2023·广东深圳市宝安中学(集团)高二期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，BC∥AD，已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界)，且二面角Q－PD－A的大小为30°，则△ADQ面积的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，由二面角Q－PD－A的平面角的大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是四边形ABCD内部一点(包括边界)，则Q的轨迹是过点D的一条线段，设Q的轨迹与y轴的交点为G(0，b，0)(b>0)，由题意可知A(0，0，0)，D(2，0，0)，P(0，0，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(－2，b，0)，＝(2，0，0)，易知平面APD的一个法向量为n1＝(0，1，0)，设平面PDG的一个法向量为n2＝(x，y，z)，则即令z＝2，得x＝1，y＝，所以n2＝是平面PDG的一个法向量，则二面角G－PD－A的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，所以Q在DG上运动，故△ADQ面积的最大值是×2×＝.故选A. 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，当E，F分别为AB，BC的中点时，A1，E，F，C1四点共面．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(6，0，6)，C1(0，6，6)，E(6，3，0)，F(3，6，0)，＝(6，3，0)，＝(6，0，6)，＝(3，6，0)，＝(0，6，6)． 设平面A1DE的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1，2，1)．同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1，1)．所以平面A1DE与平面C