教学课件06正方形的性质与判定（第2课时）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第一章 特殊的平行四边形 6正方形的性质与判定（第2课时） 7 目 录 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 巩固提升 拓展与延伸 学习目标 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算. （重点、难点） 1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 有一个角是直角 或对角线相等 平行四边 形 矩形 菱形 有一组邻边相等 或对角线互相垂直 知识回顾 新课导入 一个角是直角 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角 正方形的对边平行且相等 正方形的四个角都是直角 边 对角线 角 2.正方形的定义及性质 正方形的性质 且一组邻边相等 平行四边形 正方形 做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 剪口与折痕成 45°角 新课讲解 知识点1 正方形的对称性 合作探究 例1 如图, 正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点， BE=1，F为AB上的一点，AF =2，P为AC上一个 动点，则PF+PE的最小值为_______. 分析： 找到点F 关于直线AC的对称点M，连接EM, 计算EM的长即可. 如图, 在AD上取一点M，使AM=2, 点M即为点F关于直线AC的对称点. 连接EM，过M点作MN⊥B于N，由题意可知EN = BN－BE =AM－BE=2－1，易得MN＝4， ∴EM＝ 结论 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线. 练一练 1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? N M 练一练 1 N M 证明：∵ABCD 是正方形，AE=BF=CM=DN, ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中， AE=BF=CM=DN， ∠A=∠B=∠C=∠D， AN=BE=CF=DM， ∴△AEN ≌△BFE ≌△CMF ≌△DNM. ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF. ∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF） =180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°. ∵EN=FE=MF=NM，∴EFMN是菱形. 又∵∠NEF=90°，∴EFMN是正方形. 新知讲解 如何判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. 简记 ： 即是矩形又是菱形就是正方形 新知讲解 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 你能证明这两种猜想吗？ 知识点2 正方形的判定 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 通过矩形判定正方形： 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， AB=AD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， AC⊥BD， 所以四边形ABCD是正方形。 A B C D O 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 你能证明这两个猜想吗？ 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC =