第03练 平面向量的基本定理及坐标表示-2023年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）

第03练 平面向量的定理及坐标运算 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底 若e1，e2不共线，我们把{_ e1，e2 _}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二：平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系内，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j.取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． (2)在向量的直角坐标中，i，j称为标准正交基底：i＝（1,0），j＝（0.1），0＝(0，0)． 3.平面向量加、减运算的坐标表示 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ． (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1) ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 知识点三：平面向量数乘的坐标运算 1.平面向量数乘的坐标运算 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． 2.平面向量共线（平行）的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 ． 知识点四：平面向量数量积的坐标运算 1. 向量数量积的坐标表示，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2； 向量模公式：|a|＝； 两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝； 向量的夹角公式：若a与b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝； 向量垂直的充要条件：若a与b都是非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.平面向量共线（平行）的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 ． 一、单选题 1．已知，，若与模相等，则=（    ）. A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知平面向量与的夹角是，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图像与x轴相邻的两个交点为M，N，他们之间有一个最高点为P，，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．平面向量与的夹角为，则=（    ） A． B． C．1 D． 7．已知向量，，满足：，，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 8．已知，为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 9．在△ABC中，，且面积等于2，若点P是△ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于（    ） A．9 B．15 C．19 D．25 10．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 11．已知向量， ，则在方向上的投影向量等于___________. 12．设非零向量满足，则的最大值为_________. 13．在中，，．设，且（），则当取最小值时，______． 14．已知向量，，，且与垂直，则与的夹角的余弦值为________. 15．已知平面向量，，若，则实数的值为__________． 16．已知向量，，，若，则______． 三、解答题 17．已知向量，． (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角． 18．已知向量，． (1)设，求的最小值； (2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 19．已知向量，，，（） (1)若向量与垂直，求实数的值 (2)当为何值时，向量与平行. 20．已知是坐标原点，， (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影； (2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由. 21．已知，． (1)若与垂直，求实数的值； (2)若为与的夹角，求的值． 22．已知向量，，． (1)若，求实数k； (2)设满足，且，求的坐标． 23．已知平面向量且 (1)求向量与向量的坐标； (2)若向量，求向量与向量的夹角 24．已知向量，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系； (2)当时，判断是否为钝角，并说明理由． 25．已知向量