第02练 平面向量的数量积-2023年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）

第02练 平面向量的数量积 知识点一：向量的数量积 1.向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 特别注意，两向量夹角的范围是[0，π] 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 本质：数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定． 3.投影向量 (1)图示 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 (2)定义：称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． (3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe 4.平面向量数量积的性质 (1)若两非零向量的夹角为θ， 当0≤θ＜时，非零向量的数量积为正数； 当θ＝时，非零向量的数量积为零； 当＜θ≤π时，非零向量的数量积为负数． (2)若a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则 ①a⊥b⇔a·b=0. ②若a与b同向，则a·b＝|a||b|；若a与b反向，则a·b＝-|a||b|． ③a·a＝|a|2或|a|＝．常用此性质进行实数与向量的转化． ④cos θ＝． ⑤|a·b|≤|a|·|b|. 知识点二：平面向量数量积的运算律 1.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2.平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量形式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 一、单选题 1．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．在中，，，，的垂直平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 6．已知平面向量，，且，求（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，，则△ABC一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 8．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．下面给出的关系式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列式子中，正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 二、填空题 11．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则________. 12．单位向量相互垂直，向量，则________. 13．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为________． 14．已知向量，满足，，，则_________. 15．在中，，，，则________． 16．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若非零向量、满足，则； ④已知非零向量、、，若，则． 其中真命题的序号是______． 三、解答题 17．已知向量的夹角为. (1)求的值; (2)若和垂直，求实数t的值. 18．已知单位向量的夹角为，求向量的夹角． 19．已知，，，的夹角为120°，计算向量在向量方向上的投影数量． 20．已知向量，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)求. 21．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 22．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 23．（多选）在日