47期 总复习-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 利用导数求解实际生活中的优化问题，是近年高 考命题的一个热点．下面通过一道习题及其变式来探 究导数在优化问题中的应用． 习题：已知一个扇形的周长为 ｌ，当扇形的半径和 中心角分别为多大时，扇形的面积最大？ 解析：设扇形的半径为 Ｒ，中心角为 α弧度时，扇 形的面积为Ｓ． 由ｌ－２Ｒ＝αＲ，得α＝ ｌＲ－２． 所以Ｓ＝ １２αＲ ２ ＝ １２（ｌＲ－２Ｒ ２），０＜Ｒ＜ ｌ２． 令Ｓ′＝０，即ｌ－４Ｒ＝０，解得Ｒ＝ ｌ４，此时α为２ 弧度． 可知Ｒ＝ ｌ４是函数Ｓ＝ １ ２αＲ ２的极大值点，也是 最大值点． 故扇形的半径为 ｌ ４，中心角为２弧度时，扇形的面 积最大． 点评：函数应用性问题以生活中的优化问题居多， 导数是解决优化问题的得力工具．解答过程可简记为： 建模→求导→求最值（或最值条件）→回归实际问题． 若向空间拓展，将扇形围成圆锥，求圆锥体积的最 值，可有： 变式：从一块铁皮中剪出一个周长为ｌ的扇形，制 成一个圆锥形容器，当扇形的半径和中心角分别为多 大时，圆锥容器的体积最大？ 解析：设圆锥的底面半径为ｒ，高为ｈ，体积为Ｖ，母 线长（扇形半径）为Ｒ． 由 ２πｒ＝ｌ－２Ｒ， ｈ＝ Ｒ２－ｒ槡 ２{ ， 解得ｒ＝ｌ－２Ｒ２π ，ｈ＝ Ｒ２－（ｌ－２Ｒ） ２ ４π槡 ２ ． 所以Ｖ＝ １３πｒ ２ｈ＝ １３π（Ｒ ２－ｈ２）ｈ ＝ １３πＲ ２ｈ－１３πｈ ３，０＜ｈ＜Ｒ． 令Ｖ′＝ １３πＲ ２－πｈ２ ＝０，解得ｈ＝槡３３Ｒ． 可知ｈ＝槡３３Ｒ是函数Ｖ的极大值点， 所以当ｈ＝槡３３Ｒ时，体积最大． 把ｈ＝槡３３Ｒ代入ｒ ２ ＝Ｒ２－ｈ２，得ｒ＝槡６３Ｒ． 由２πｒ＝ｌ－２Ｒ，即２π·槡６３Ｒ＝ｌ－２Ｒ， 解得Ｒ＝ ３ｌ 槡２６π＋６ ． 由αＲ＝２πｒ，即αＲ＝２π·槡６３Ｒ，得α＝ 槡２６ ３π． 所以当扇形的半径为 ３ｌ 槡２６π＋６ ，中心角为 槡 ２６ ３π 时，圆锥容器的体积最大． ! !" # $ 书 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类 题目，可采用基本事件总数的办法来计算，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ ｎ（ＡＢ） ｎ（Ａ）；二是直接根据定义计算，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ），特 别要注意Ｐ（ＡＢ）的求法． 一、利用古典概型公式计算 条件概率Ｐ（Ｂ｜Ａ）与积（交）事件概率Ｐ（ＡＢ）的区 别： Ｐ（ＡＢ）表示在基本事件空间 Ω中，计算 ＡＢ发生的 概率；而Ｐ（Ｂ｜Ａ）表示在缩小的基本事件空间ΩＡ中，计 算Ｂ发生的概率．用古典概型公式则有：Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ ＡＢ中基本事件数 ΩＡ中基本事件数 ，Ｐ（ＡＢ）＝ＡＢ中基本事件数 Ω中基本事件数 ．一般地， Ｐ（Ｂ｜Ａ）要比Ｐ（ＡＢ）大． 例１一个盒子装有４件产品，其中３件一等品，１件 二等品，从中取产品两次，每次任取一件，作不放回抽 样．设事件Ａ为“第一次取到的是一等品”，事件Ｂ为“第 二次取到的是一等品”，试求条件概率Ｐ（Ｂ｜Ａ）． 解析：将产品编号，１，２，３号为一等品，４号为二等 品，以（ｉ，ｊ）表示第一次、第二次分别取到第ｉ号、第ｊ号产 品，则试验的基本事件空间为 Ω＝｛（１，２），（１，３），（１，４），（２，１），（２，３），（２，４）， （３，１），（３，２），（３，４），（４，１），（４，２），（４，３）｝． 可知事件Ａ有９个基本事件，ＡＢ有６个基本事件． 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ） ＝ ６ ９ ＝ ２ ３． 点评：本题的解法是求条件概率的常用方法，当基 本事件空间容易列出时，可考虑此法． 二、利用条件概率公式求解 条件概率的公式及变形主要有以下四个：对任意事 件Ａ和Ｂ，若Ｐ（Ａ）≠０，则“在事件Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率”记作Ｐ（Ｂ｜Ａ），定义为 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）． ① 反过来可以用条件概率表示Ａ，Ｂ的乘积概率，即有 乘法公式，若Ｐ（Ａ）≠０，则 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）． ② 同样有，若Ｐ（Ｂ）≠０，则 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）． ③ 若Ｂ和Ｃ是两个互斥事件，则有 Ｐ（Ｂ∪Ｃ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）＋Ｐ（Ｃ｜Ａ）． ④ 例２某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他 随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求： （１）不超过３次拨号就接通电话的概率； （２）如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超 过３次就接通电话的概率． 解析：设第ｉ次接通电话为事件Ａｉ（ｉ＝１，２，３），则Ａ＝ Ａ１∪（Ａ１Ａ２）∪（Ａ１Ａ２Ａ３）表示不超过３次就接通电话． （１）因为事件Ａ１与事件Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ２Ａ３彼此互斥，所 以Ｐ（Ａ）＝ １１０＋ ９ １０× １ ９＋ ９ １０× ８ ９× １ ８ ＝ ３ １０． （２）用Ｂ表示最后一位按奇数号码的事件，则 Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ１Ａ２｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ１Ａ