45期 第二册综合(一)-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 例１请您设计一个帐篷， 它下部的形状是高为１ｍ的正 六棱柱，上部的形状是侧棱长 为３ｍ的正六棱锥（如右图所 示）．试问当帐篷的顶点Ｏ到底 面中心Ｏ１的距离为多少时，帐 篷的体积最大？ 解析：设ＯＯ１为ｘｍ，则１＜ｘ＜４． 由题设可得正六棱锥底面边长为 ３２－（ｘ－１）槡 ２ ＝ ８＋２ｘ－ｘ槡 ２． 于是帐篷的体积为 Ｖ＝６×槡３４（ ８＋２ｘ－ｘ槡 ２）２［ １ ３（ｘ－１）＋１］ ＝槡３２（１６＋１２ｘ－ｘ ３）． 则Ｖ′（ｘ）＝槡３２（１２－３ｘ ２）． 令Ｖ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝－２（舍去）或ｘ＝２． 当１＜ｘ＜２时，Ｖ′（ｘ）＞０，Ｖ（ｘ）为增函数； 当２＜ｘ＜４时，Ｖ′（ｘ）＜０，Ｖ（ｘ）为减函数． 所以当ｘ＝２时，Ｖ（ｘ）最大． 故当ＯＯ１为２ｍ时，帐篷的体积最大，最大体积为 槡１６３ｍ ３． 例２某市要在半径为 Ｒ的圆形花园中心竖建一 高杆顶灯，若地面各点的亮度与光线与地面所成角的 正弦值成正比，与该点到灯距离的平方成反比，问高 杆顶灯的灯柱设计多高时，沿花园周边小路上的亮度 最大？ 解析：设高杆顶灯的柱高为ｘ（即灯到地面的距离为 ｘ），光线与地面所成的角为α， 依题意，花园周边小路上的亮度为ｙ＝ｋ· ｓｉｎα ｘ２＋Ｒ２ （ｋ 为正常数），又ｓｉｎα＝ ｘ ｘ２＋Ｒ槡 ２ ． 所以ｙ＝ｋｘ·（ｘ２＋Ｒ２）－ ３ ２（ｘ＞０）． 所以 [ｙ′＝ｋ （ｘ２ ＋Ｒ２）－３２ ＋ｘ· －( )３２·（ｘ２ ＋ Ｒ２）－ ５ ２·２ ]ｘ ＝ｋ［（ｘ２＋Ｒ２）－ ５ ２·（Ｒ２－２ｘ２）］ ＝ｋ（ｘ２＋Ｒ２）－ ５ ２·（Ｒ＋槡２ｘ）（Ｒ－槡２ｘ）． 由ｘ＞０，所以ｋ（ｘ２＋Ｒ２）－ ５ ２·（Ｒ＋槡２ｘ）＞０． 所以 当 ｘ∈ ０，槡２２( )Ｒ 时，ｙ′＞ ０， 当 ｘ∈ 槡２ ２Ｒ，＋( )∞ 时，ｙ′＜０． 所以当且仅当ｘ＝槡２２Ｒ时，ｙ取得最大值． 综上可知，在灯型一定的情况下，该花园中心的灯 柱设计为槡 ２ ２Ｒ时，周边小路上的亮度最大． 评注：本题是一道实际应用问题，关键是正确列出 小路灯上灯光的高度与高杆顶灯柱高的函数式． 例３甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产 需要占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补 经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情 况下，乙方的年利润ｘ（元）与年产量ｔ（吨）满足函数关 系ｘ＝２０００槡ｔ，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 ｓ 元（以下称ｓ为赔付价格）． （１）将乙方的年利润ｗ（元）表示为年产量ｔ（吨）的 函数；并求出乙方获得最大利润的年产量； （２）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额ｙ＝ ０．００２ｔ２（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生 产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙 方要求赔付价格ｓ是多少？ 解析：（１）由题意得： ｗ＝２０００槡ｔ－ｓｔ ＝－ｓ槡ｔ－ １０３( )ｓ ２ ＋１０ ６ ｓ（ｔ＞０）． 当槡ｔ＝ １０３ ｓ，即ｔ＝ １０６ ｓ２ （吨）时， ｗ取得最大值为１０ ６ ｓ（元）． 所以乙方获得最大利润的年产量为ｔ＝１０ ６ ｓ２ 吨． （２）设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的 前提下，甲方在索赔中获得最大净收入为ｖ元， 则ｖ＝ｓｔ－０．００２ｔ２ ＝１０ ６ ｓ－ ２×１０９ ｓ４ ． 所以ｖ′＝－１０ ６ ｓ２ ＋８×１０ ９ ｓ５ ＝１０ ６ ｓ５ （２０３－ｓ３）． 令ｖ′＝０，得ｓ＝２０． 当ｓ＞２０时，ｖ′＜０，所以ｖ在（２０，＋∞）上单调递减， 当ｓ＜２０时，ｖ′＞０，所以ｖ在（０，２０）上单调递增． 所以ｓ＝２０时ｖ取得极大值，也就是最大值，所以在 乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方 要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 ｓ是２０元 ／吨． 评注：该题以赔偿经济损失为背景编拟，建立函数 模型，利用导数求最大值，考查同学们的逻辑思维能力 及计算能力． 书 一、函数思想 例１已知等差数列｛ａｎ｝中，首项 ａ１ ＞０，且 Ｓ３ ＝ Ｓ１０．问此数列前几项和最大？最大值是多少？ 解析：由Ｓ３ ＝Ｓ１０， 得 ３（ａ１＋ａ１＋２ｄ） ２ ＝ １０（ａ１＋ａ１＋９ｄ） ２ ， 所以ｄ＝－１６ａ１， 所以Ｓｎ ＝ｎａ１＋ １ ２ｎ（ｎ－１）ｄ＝ｎａ１＋ １ ２ｎ（ｎ－ １） －１６ａ( )１ ＝－ １ １２ａ１ ｎ－ １３( )２ ２ ＋１６９４８ａ１． 所以当ｎ＝６，或ｎ＝７时，Ｓ６＝Ｓ７＝ ７ ２ａ１为最大值． 点评：在求解等差数列问题时，要能把问题转化为 函数来研究． 二、方程思想 例２已知等差数列的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ１２＝８４，Ｓ２０ ＝４６０，求Ｓ２８． 解析：由已知条件得： １２ａ１＋ １２（１２－１） ２ ｄ＝８４， ２０ａ１＋ ２０（２０－１） ２ ｄ＝４６０