42期 用导数研究函数的性质,导数的应用-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 例题 已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｘ在区间［－１，１］ 上有极大值和极小值，求实数ａ的取值范围． 分析：本题应正确理解函数在给定区间上有极值的 实质，将函数的极值问题转化为二次方程根的分布问 题，这样问题就能迎刃而解． 解：ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋１．因为ｆ（ｘ）在［－１，１］上 有极大值与极小值，所以ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋１＝０在 区间［－１，１］上有两个相异的实根，则 Δ＝４ａ２－４×３＞０， －１＜－ａ３ ＜１， ｆ′（１）＝２ａ＋４≥０， ｆ′（－１）＝－２ａ＋４≥ { ０  ａ＜－槡３或ａ＞槡３， －３＜ａ＜３， －２≤ａ≤２ { ， 即ａ∈［－２，－槡３）∪（槡３，２］． 故实数ａ的取值范围是［－２，－槡３）∪（槡３，２］． 变式１设ａ∈Ｒ，试讨论关于ｘ的三次方程ｘ３－３ｘ２ －ａ＝０的相异实数根的个数． 分析：直接讨论三次方程的相异实数根的个数无从 下手，可结合对应函数的导数，应用函数图象的变化趋 势加以判断． 解：原方程可化为ｘ３－３ｘ２＝ａ，设ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ２， 则ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ＝３ｘ（ｘ－２）．令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝ ０或ｘ＝２．列表讨论如下： ｘ （－∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋∞） ｆ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  由表可知 ｆ（ｘ）的极大值是 ｆ（０） ＝０，极小值是ｆ（２）＝－４，于是函数ｙ ＝ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ２的大致图象如图１ 所示． 因为方程ｘ３－３ｘ２＝ａ的相异实数 根的个数是ｙ＝ｆ（ｘ）的图象和直线 ｙ ＝ａ的交点个数，所以相异实数根的 情况为： （１）当ａ＜－４或ａ＞０时，有１个； （２）当ａ＝－４或ａ＝０时，有２个； （３）当 －４＜ａ＜０时，有３个． 变式２试讨论方程ｘ３－３ａｘ＋２＝０（ａ＞０）的实数 根的个数． 分析：令ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ａｘ＋２，讨论函数ｆ（ｘ）的单调 性及极大值与极小值，结合图象可得． 解：设ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ａｘ＋２，则ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－３ａ＝ ３（ 槡ｘ＋ ａ）（ 槡ｘ－ ａ）．令ｆ′（ｘ）＝０，得 槡ｘ＝± ａ． 列表讨论如下： ｘ （－∞， 槡－ ａ） 槡－ ａ （ 槡－ ａ，槡ａ） 槡ａ （槡ａ，＋∞） ｆ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  由表可知ｆ（ｘ）的极大值是ｆ（ 槡－ａ）＝２＋２ａ ３ ２，极小 值是ｆ（槡ａ）＝２－２ａ ３ ２． 根据列表讨论，可作出函数 ｆ（ｘ）的草图如图２所示，因为ａ＞ ０，显然极大值２＋２ａ ３ ２ ＞０． 故当极小值２－２ａ ３ ２ ＜０，即ａ ＞１时，原方程ｘ３－３ａｘ＋２＝０有 ３个不同的实数根； 当极小值２－２ａ ３ ２ ＞０，即０＜ａ＜１时，原方程ｘ３－ ３ａｘ＋２＝０有惟一的实数根； 当极小值２－２ａ ３ ２ ＝０，即ａ＝１时，原方程ｘ３－３ａｘ ＋２＝０有两个不同的实数根（其中有一根为二重根）． 变式３已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋３ａｘ＋４，设ａ＝－４，试 讨论方程ｆ（ｘ）＝ｍ的实数解的个数． 分析：方程ｆ（ｘ）＝ｍ的实数解的个数，可等价转化 为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝ｍ的交点个数．由函 数ｙ＝ｆ（ｘ）的性质画出其示意图，数形结合求解． 解：因为 ａ＝－４，所以 ｆ（ｘ）＝ｘ３－１２ｘ＋４，所以 ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－１２＝３（ｘ－２）（ｘ＋２）． 令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝－２或ｘ＝２． 列表讨论如下： ｘ （－∞，－２） －２ （－２，２） ２ （２，＋∞） ｆ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  由表可知 ｆ（ｘ）极小值 ＝ｆ（２） ＝ －１２，ｆ（ｘ）极大值 ＝ｆ（－２）＝２０． 又因为 ｆ（ｘ）的值域是 Ｒ，画出函 数ｆ（ｘ）的示意图如图３所示． 结合图形可知当 ｍ＞２０或 ｍ＜ －１２时，方程有一个解； 当ｍ＝２０或ｍ＝－１２时，方程有 两个解； 当 －１２＜ｍ＜２０时，方程有三个 解． 点评：对于一些高次方程、非常规方程，研究根的个 数时，常先由导数求出相应函数的单调性、极值（最值）， 从而画出函数的示意图，将方程根的个数转化为图象的 交点个数问题，数形结合求解． 书 特别关注一：“判断 ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上的单调性”与 “求ｆ（ｘ）的单调区间” 例１函数ｆ（ｘ）＝１＋ｘ－ｓｉｎｘ在（０，２π）上是 （　　） （Ａ）增函数 （Ｂ）减函数 （Ｃ）在（０，π）上为增函数，在（π，２π）上为减函数 （Ｄ）在（０，π）上为减函数，在（π，２π）上为增函数 分析：要判断ｆ（ｘ）在（０，２π）上的单调性，只需判断 ｆ′（ｘ）在（０，２π）上的正负即可． 解：因为ｆ′（ｘ）＝１－ｃｏｓｘ在（０，２π）上恒有ｆ′（ｘ） ＞０，所以ｆ（ｘ）在（０，２π）上