41期 导数的四则运算法则，简单复合函数的求导法则-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 热点问题１：导数定义的理解与应用 例１已知 ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋５），求 ｆ′（０）． 分析：可利用导数的定义求得，也可以由导数的运 算求得． 解：令ｈ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋５）， 则ｆ（ｘ）＝ｘ·ｈ（ｘ）． 由导数乘法的计算公式得 ｆ′（ｘ）＝ｈ（ｘ）＋ｘ·ｈ′（ｘ）， 所以ｆ′（０）＝ｈ（０）＋０·ｈ′（０）＝ｈ（０） ＝１×２×… ×５＝１２０． 点评：由导数的定义可解决的求导问题，通过导数 运算照样可以完成． 热点问题２：利用导数的运算求值 例２已知函数ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ ｘ在ｘ＝ｘ０处的导数值与其 函数值互为相反数，求ｘ０的值． 分析：可先求出函数ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ ｘ的导函数，然后根据 条件建立关于ｘ０的方程进行求解． 解：由于ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ ｘ，所以ｆ（ｘ０）＝ ｅｘ０ ｘ０ ． 又ｆ′（ｘ）＝ｅ ｘ（ｘ－１） ｘ２ ， 所以ｆ′（ｘ０）＝ ｅｘ０（ｘ０－１） ｘ２０ ． 依题意得ｆ′（ｘ０）＋ｆ（ｘ０）＝０， 即 ｅｘ０（ｘ０－１） ｘ２０ ＋ｅ ｘ０ ｘ０ ＝０， 所以２ｘ０－１＝０，得ｘ０ ＝ １ ２． 点评：导数运算是导数应用的前提，要熟练掌握导 数的运算法则以及常见函数的求导公式．在近几年的高 考试题中，对于ｙ＝ｅｘ，ｙ＝ｌｎｘ等函数的导数的考查较 为频繁，因此须掌握与这两个函数有关的导数运算． 热点问题３：复合函数的求导 例３求函数ｙ＝ｓｉｎ（ｃｏｓｘ２）的导数． 分析：助借于导数的四则运算法则及常见初等函数 的导数公式，可以容易求得． 解：ｙ′＝ｃｏｓ（ｃｏｓｘ２）（ｃｏｓｘ２）′ ＝ｃｏｓ（ｃｏｓｘ２）·（－ｓｉｎｘ２）·（ｘ２）′ ＝－ｃｏｓ（ｃｏｓｘ２）·ｓｉｎｘ２·２ｘ ＝－２ｘｓｉｎｘ２ｃｏｓ（ｃｏｓｘ２）． 点评：复合函数的求导过程就是对复合函数由外层 逐层向里求导．每次求导都针对最外层，直至求到最里 层为止． 热点问题４：求过定点的切线方程 例４已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ａｘ２的图象在（１，ｆ（１）） 处的切线斜率为ｅ＋２，则该切线方程为 （　　） （Ａ）（ｅ＋２）ｘ－ｙ＋２ｅ－１＝０ （Ｂ）（ｅ＋２）ｘ－ｙ－２ｅ－３＝０ （Ｃ）ｘ－（ｅ＋２）ｙ－１＝０ （Ｄ）（ｅ＋２）ｘ－ｙ－１＝０ 分析：本题主要考查利用导数的几何意义求切线的 方程． 解：由题可知ｆ′（ｘ）＝ｅｘ＋２ａｘ， ｆ′（１）＝ｅ＋２ａ＝ｅ＋２，所以ａ＝１， 故ｆ（１）＝ｅ＋１，所以切点为（１，ｅ＋１）， 所以切线方程为ｙ－（ｅ＋１）＝（ｅ＋２）（ｘ－１）， 即（ｅ＋２）ｘ－ｙ－１＝０．故选（Ｄ）． 点评：本题通过导数和切点建立方程，对于此类问 题一般使用导数的方法较简单．在平时的学习中，我们 要有意识地进行训练． 书 一、斜率牵手导数与切点———求切点坐标 例１曲线ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ－２上点Ｐ０处的切线斜率 为４，则点Ｐ０的一个坐标是 （　　） （Ａ）（０，－２）　 （Ｂ）（１，１） （Ｃ）（－１，－４）　 （Ｄ）（１，４） 分析：要求切点坐标，必须利用斜率这个条件，所以 利用导数和切点横坐标表示出斜率即可求解． 解：设Ｐ０（ｘ０，ｘ ３ ０＋ｘ０－２）， 则斜率ｋ＝ｆ′（ｘ０）＝３ｘ ２ ０＋１＝４， 解得ｘ０ ＝±１，故切点是（１，０）或（－１，－４）． 故选（Ｃ）． 点评：解本题的关键是先设切点坐标，然后由导数的 几何意义用切点的横坐标表示切线的斜率ｋ＝ｆ′（ｘ０）求 得切点的横坐标，然后代入曲线方程可以求得纵坐标． 二、斜率牵手导数与切点———求参数 例２函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ（ｘ＞０）的图象与直线ｙ＝１２ｘ ＋ａ相切，则ａ等于 （　　） （Ａ）ｌｎ２－１　（Ｂ）ｌｎ２＋１　（Ｃ）ｌｎ２　（Ｄ）２ｌｎ２ 分析：要求参数ａ的值，必须利用斜率是 １２这个条 件，利用导数由切点的横坐标表示出来求解． 解：设切点为（ｘ０，ｌｎｘ０）， 则切线的斜率ｋ＝ｆ′（ｘ０）＝ １ ｘ０ ＝ １２， 解得ｘ０ ＝２， 故切点为（２，ｌｎ２）， 代入直线方程得ｌｎ２＝ １２×２＋ａ， 所以ａ＝ｌｎ２－１．故选（Ａ）． 点评：解本题的关键是先设切点，再由导数的几何 意义用切点的横坐标表示出切线的斜率求解． 三、斜率牵手导数与倾斜角———求倾斜角范围 例３已知函数ｆ（ｘ）＝１２ｘ ２－ｘ＋ｌｎｘ．求函数ｆ（ｘ） 图象上所有点处的切线的倾斜角范围． 分析：要求ｆ（ｘ）图象上所有点处的切线的倾斜角范 围，必须先求斜率的范围，而斜率即为导数． 解：函数的定义域是（０，＋∞），函数ｆ（ｘ）图象上所 有点处的切线的斜率 ｋ＝ｆ′（ｘ）＝ｘ－１＋ １ｘ ＝ ｘ＋１( )ｘ －１≥２－１＝１， 即ｔａｎα≥１，所以α∈ π ４， π[ )２ ， 即函数ｆ（ｘ）图象上所有点处的切线的倾斜角的范 围是 π ４， π[ )２